25 475 



Numeraler og Numeralsnumeraler skal kunne anvendes ud fra henholdsvis en hvilkensom- 



lielst af Gruppens rurestillinger og Numeraler og bestandig bestemme henholdsvis en Fore- 

 stilling og et Numeral i Gruppen. Indbegrebet af de i denne Forstand nødvendige Tal 

 bestemmer Gruppens mindst mulige Omfang, og der gives konkrete Forestillingsgrupper, 

 som ikke besidde større Mangfoldighed. Men derefter maa det saa undersøges, om der 

 ved Siden af saadanne nødvendige Tal kan baves andre mulige Tal sammen med hine, 

 og hvilke Betingelserne ere for saadan Mulighed. Disse mulige Tals Virkeligbed beror paa, 

 at man kan paavise konkrete Forestillingsarter af tilsvarende større Mangfoldighed. 



Det vil bidrage til Fremstillingens Klarhed, at man gjør Inddelingen efter nødvendige 

 og mulige Tal til den principale, og underordner Inddelingen efter hine Krfaringssætninger 

 som en sekundær under den. 



Nødvendige Tal. 



Nødvendige Tal i enhver Gruppe af mathematiske Forestillinger ere foruden og I 

 i del mindste ogsaa de øvrige bele Tal, Antallene og disses modsatte bele Tal. Allerede 

 for de almindelige Numeraler have vi ovenfor (Side 12) set, hvorledes et givet Numeral A 

 vod Tilføjelse til dets identiske eller modsatte Numeraler frembringer en Række Numeraler, 

 * (H-yl), 0, * A, som nødvendig børe til samme Gruppe, og for hvis Tilføjelser ogsaa del 

 kommutative Princip kan bevises.' Idet nu A antages at være benævnt Tal, bliver Tilføjelses- 



n 



bestemmelserne * Numeralsnumeraler, ubenævnte Tal, som her simplere kunne skrives n 

 med Bortkaslelse af * Tegnet, # = « og *( — I) = — n. Antallene og deres modsatte 

 Tal, og for disses Addition gjælder det kommutative Princip; Modsætningsafhængigheden 

 kunde altsaa her erstattes ved Subtraktion, u -\- ( — m) = n — m. 



At Multiplikation, naar Multiplikator er et Antal, sker ved Addition af samme Antal 

 med Multiplikanden identiske Addender, bevises ved det distributive Princip; naar nemlig 

 n = 1 + 1 + . . . + I , vil na = a -\-a -f- . . . -(- a. 



Denne Sætnings Udvidelse til alle hele Tal følger af, at «.( — 1) = — n = ( — 1).», 

 saaat formedelst det associative Princip ( — n).a = n( — \).a = n( — a). Følgelig er ogsaa 

 ( — n)( — a)^=na, nemlig forsaavidt n her betegner et Antal. 



Naar baade Multiplikator og Multiplikanden ere Antal, gjælder Multiplikationens 

 kommutative Princip og bevises ved Additionens kommutative Princip. 



n.m = (I + 1 -f ...+ I) m + ... + (I -f |+...-f |) m (n Addender) = 



= (1 + ... + !)„ + (]+... + l)n+ •• . + (!+... + 1)« (m Addender) = nm. 



Ifølge de nærmest foregaaende Sætninger maa dernæst Multiplikationens kommutative 

 Princip ogsaa gjælde, naar Faktorerne ere hvilkesomhelst hele Tal. 



Her og overalt, hvor det kommutative Princip for Multiplikationen findes gjældende, 

 kan Division træde i Stedet for Ueciprocitetsafhængigheden. Naar a og b ere kommutative, 



Vidcnsk. Sclsk. Skr.. G. Række, naturviilcnsk. ag mntli. AM. II. II GO 



