27 477 



m og /« varé Antal i Kækken 2, 3, . . . o — I, vilde stride imod den l'or alle Tal gjældende 

 Sætning, at naar Produktet er 0, mau den ene eller anden Faktor være = ')• 



Multiplikation af de hele Tal I, ...o — 1 med m, et hvilketsomhelst af dem, vil 

 give en Hække hele fra forskjellige Tal af samme Kække, blandt hvilke ikke lo kunne 

 være indbyrdes identiske. Thi skulde l.m = Q, maaltc 1=0, og skulde l.m = n.m, 

 maatte 1 — n = 0, og det ene som det andet strider imod Forudsætningen. Produkterne 

 l.m maa da blot i forandret Orden gjengive alle Tallene I, ...o— I, og navnlig maa man 



til hvert m kunne bestemme / saaledes, at l.m — I, d. e. — = 1. Vi se saaledes, at de 



hele Tals reciproke Tal saavel som de nødvendige Tal — alle selv ere hele 

 1 m 



Tal i enhver af disse periodiske Talar ter. 



Naar derimod Gruppens Forestillinger ere saadanne, at Talrækken 0, I, 2 



bestandig bringer nye Tal og derfor kan fortsættes uden Grændse, vil denne 

 Række trods sin Mangfoldighed af Led dog ikke omfatte alle Gruppens nødvendige 

 Tal. Modsætningsafhængigheden supplerer denne de positive hele Tals Række med Rækken 

 af de negative Tal, som alle maa være forskjellige baade indbyrdes og fra de positive Tal, 

 fordi disse ere indbyrdes forskjellige. Og vel forer baade Addition og Multiplikation af 

 disse hele Tal bestandig til hele Tal; men Reciprociteten gjør nye Tal nød- 

 vendige. Med Undtagelse af 1 kan et Antals reciproke Tal ikke selv være et helt Tal; 

 naar m og n ere andre hele positive Tal end I, kan man ikke have m.n=\, thi da 



maatte 



m[np) = (mn)p = p ; 



for hvilketsomhelst Antal p maatte man da ved at tælle ud over p og up tilsidst komme 

 til el Tal m{np), som var Gjentagelse af />, hvilket er imod Forudsætningen. Heller ikke 

 kan n's reciproke Tal være et negativt helt Tal, og hvad den sidste Mulighed angaar, at 



— = 0, saa har vi her et Valg, en Inddeling aaben, nemlig efter Kontinuitetsaxiomet ; 



Benægtelsen af, at et helt Tal og kunne være reciproke, adskiller de diskrete Forestil- 

 lingers Tal fra de kontinuerte, for hvilke saadan Reciprocitet som omtalt er mulig i Grændse- 

 tilfældet »=oo. Da Reciprociteten er gjensidig entydig, maa forskjellige hele Tals reci- 

 proke Tal være forskjellige indbyrdes. 



hisse Gruppers nodvendige Tals Mængde fordobles altsaa, afset fra +1 og 0, ved 

 Reciprociteten. Ogsaa for de reciproke Tal gjælde begge de kommutative Principer og 



') lin Sætning, hvis Gyldighed særlig paa dette Omraade bestyrkes ved den øjensynlige Riglighed af, at 

 Bestemmelsen ved Tilføjelse af et bestemt Antal er anvendelig paa Identiteten saavel sum paa Kor- 

 skel, og ud fra Identiteten giver Identitet. 



.-. 1 Vl^ £ 



