478 28 



bevises let nok og saaledes, at der ikke er urund lil her at dvæle derved. Ved Addition 

 og Multiplikation mellem hele Tals reciproke Tal og hele Tal udvides de nødvendige Tals 



1Ï 



Grændser til ogsaa at omfatte Brøkerne — , og ogsaa for disse gjælde begge de kommu- 

 tative Principer. 



Naar Kontinuitetsaxiomet ikke gjælder, udfylder Brøkernes System hele Begrebet 

 nødvendige Tal. Enhver af de 4 Regningsarter, hvis Resultat efter Definitionen skal være 

 et nødvendigt Tal, fører ud fra bvilkesomhclst Brøker til et Resultat, som ogsaa er Brøk. 

 Paa Grund af Brøkernes Forkortelighed kan et hvilketsomhelst System af givne Brøker 

 bringes til ens Benævning, og det paa mangfoldige Maader. Dette viser, at der til hvilke- 

 somhelst af Gruppens benævnte Tal maa kunne findes saadanne Enheder, ved hvis bestan- 

 dige Addition og Modsætning de alle kunne bestemmes. Havde man oprindelig valgt en 

 saadan Enhed til Udgangsnumeral, vilde de givne benævnte Tal være blevne bestemte ved 

 hele Tal, men samtidig vilde Brøkerne ud fra denne Enhed vise Existensen af en yder- 

 ligere Mangfoldighed af benævnte Tal i Gruppen. Ved Brug af fælleds Nævner kunne alt- 

 saa Brøkerne ordnes paa Bække lige saa vel som de hele Tal. Kun er Brøkernes Række 

 ikke blot ubetinget aaben for Nydannelser ved Addition, ligesom de hele Tals Række er; 

 men mellem hvert sidestillet l'ar Brøker i en Række, der er nok saa stærkt udfyldt, f. Ex. 



imellem og — , hvor m betegner Rækkens yderste angivne hele Tal, er der bestandig 



(11 



Plads aaben for Indskydelse, af mellemfaldende Brøker. 



Det maa dog bestemt fremhæves, at denne Brøkernes Ordning er rent formel og 

 ingenlunde, som man kunde tro, paalvinger os Kontinuitetsaxiomet. Mar w den nylig 



angivne Betydning, da indtager i vor Ordning — vistnok Pladsen nærmest ved og beholder 



m 



den saa længe, der ikke tales om større Antal end w; men dermed er paa ingen Maade 

 sagt noget om, at det benævnte Tal, som med en vilkaarlig Enhed E bestemmes som 



— E, skal betegne en ubetydelig Forskjel, tvertimod kan denne Forskjel — -E 



fysisk set være særdeles betydelig, en Mængde ved hele Tal bestemte benævnte 



Tal ii. E kunne meget vel i Storhed falde imellem O og — E. 



w ' 



Antages derimod Kontinuitetsaxiomet, saa sker det i Kraft af et fysisk Moment i 

 Forestillingsgruppens Beskaffenhed, ved den Sætning, som kun gjælder for disse, at ethvert 

 benævnt Tal er mindre forskjelligt fra end de benævnte Tal, som fremstilles ved 

 dets gjentagne Addition og altsaa bestemmes ved hele Tal > I med det som Enhed. Med 

 Kontinuiletsaxiomets Antagelse ordnes Tallene, Brøkerne saavel som de hele Tal efter deres 

 Størrelse; og det største Tal er det, som mindst kan og tør forvexles med 0. Saa faar 

 man Ret og Forpligtelse til al identificere visse smaa Tal med 0, Formler modificeres ved 



