29 479 



Bortkastelse af forsvindende Led; Tal, som bestemme Forestillinger, der med fysisk Nød- 

 vendighed tilhøre Gruppen, men ikke formelt efter den tidligere Definition kunde erklæres 

 for nødvendige Tal, bestemmes ved Tilnærmelse og indordnes under Navn af irra- 

 tionale Tal i flydende Overgang imellem Brøkerne; og Antagelsen af ubegrændset Til- 

 nærmelse fremtvinger Bestemmelsen af x> som O's reciproke Tal med Betydningen af det 

 grændseløst store. Gruppen maa, naar Kontinuiletsaxiomet skal gjælde for den, grændse til 

 Forestillinger med den særegne Egenskab, at de ere uopnaaelige ud fra Gruppens andre 

 Forestillinger, selv ved nok saa længe fortsat Addition af hvilkesomhelst almindelige be- 

 nævnte Tal. 



Med Tilnærmelse beviser man her de kommutative Principer ogsaa for de irrationale 

 Tal og Gruppens Afsluttethed ved og med disse. 



Uagtet man ogsaa i den traditionelle Mathematik finder, at de rationale Tal optræde 

 med større Selvstændighed end blot som Underafdeling af de reelle, de hele Tal med en 

 Theori, der i visse Maader stiller dem ved Siden af de rationale, kan det dog ikke uægtes, 

 at vor Definition i denne Henseende fører os et betydeligt Stykke videre til Sondring imellem 

 forskjellige Talarter. Tillægsordet ubenævnt til Tallet passer ikke ganske, det har ialtl'ald 

 for os ikke den Hentydning til radikal Abstraktion fra Forestillingernes Navn og Særegen- 

 heder, som man bar vænnet sig til at knytte dertil. Forskjellen mellem de Abstraktioner, som 

 knytte sig til de henævnte og ubenævnte Tal, er dog vedblivende stor nok til at retfærdig- 

 gøre liibeboldelsen af disse Navne. Hen liest af Forskjel imellem de ubenævnte Tals Arter, 

 som bliver tilbage og gjnr hver af dem uanvendelig udenfor en begrændset Kreds af Forestillinger, 

 fremgaar meget mere af en abstrakt formel Inddeling end af Hensyn til en empirisk erkjendl 

 Forskjel mellem de konkrete Forestillinger, og den hindrer ikke, at Behandlingen af de hele 

 Talarler, for hvilke 2 = 0, 3 = 0, 5=0, . . . p = 0, kan og bør foretages under ét ved den 

 paa de rationale Tal byggede bele Tals Theori. Og Forholdet mellem de diskrete, rationale 

 Tal og de kontinuerte reelle Tal er heller ingenlunde nogen skarp Modsætning. Skjondt de 

 reelle Tal utvivlsomt udgjør en afsluttet Gruppe, som gjennem Konlinuitetsaxiomet gjør sig 

 gjældende med en vis Nødvendighed, saa forhindrer det dog ikke, at de rationale Tals 

 Gruppe optræder indenfor hin som de særlig og i egentlig Forstand nødvendige Tal. Og 

 naar vi nu skulle gaa over til at betragte de Grupper af mulige Tal, som kunne knyttes 

 som Udvidelser til hver af de omtalte Arter af nødvendige Tal, saa vil det vise sig, at ialt- 

 fald den allervigtigste Del af de irrationale Tal ogsaa uden Kontinuiletsaxiomet ville findes 

 som Tillæg til de rationale Tals System. 



Af det Sagte fremgaar Grunden til, at vi i det Følgende ville lægge de rationale 

 Tal til Grund og særlig tænke paa dem , hvor der ikke udtrykkeligt til Benævnelsen nød- 

 vendige Tal knyttes særlige nærmere Bestemmelser. Ud Ira den rationale Talarts Under- 

 søgelse med Hensyn til dens mulige Forøgelser kan man med Lethed slutte til begge 



