31 481 



med et tilstrækkelig! Udvalg af de principale Sætninger, som definitionsmæssig gjælde for 

 alle Tal, udvikles specielle Healer for alle i principale Regningsarter, saaledes at alle de 

 Talformer kunne kjendes, hvis Existens med Nødvendighed følger af den gjorte Hypothese, 

 idet saavel Modsætningen og Additionen som Reciprociteten og Multiplikationen med hvilke- 

 somhelst Tal af samme Art skal give et Tal til Resultat. Det kræves da, at alle de 

 nævnte Regningsarter skulle være entydige, at Modsætningen og Recipro- 

 citeten skulle være symmetriske Afhængigheder, at haade Addition og Mul- 

 tiplikation skulle h e s i d d e Omvendingsprincipet og det associative Princip, 

 al det distributive Princip for Multiplikator som Sum skal gjælde, og endelig 

 al l'nd tagelses sætninger ne om skulle staa ved Magt: 0..r = 0, ,r.0=0, og 

 omvendt , at .ry = kræver enten x = eller y = 0. Naar alle disse Betingelser ere op- 

 fyldte, erkjende vi saadanne hy pothetiske Tal for mulige Tal. 



Jeg anser nemlig de nævnte Sætninger for at være en Oversættelse af Tallets De- 

 finition i det malhematiske Tegnsprog. Er dette Tilfældet, da maa slige Talformer ikke 

 blot erkjendes som mulige Tal, men ubetinget anerkjendes som fuldt berettigede. Skulde 

 det ved min Fejl (jvnfr. Noterne Side 20, 22 og 27) ikke være lykkedes mig at frembringe 

 Kongruens imellem de lo Former for Tallets Definition, saa vilde jeg overfor det foreliggende 

 Spørgsmaal, om hypothetiske Tals Anerkjendelse, holde mig til de her angivne Kjendetegn. 

 I Virkeligheden er det disse, som ved at suppleres med de nødvendige Definitioner for 

 benævnte Tal og malhematiske Forestillinger ere blevne oversatte i det sædvanlige Sprog 

 (Mathematisk Tidsskrift 1880, Side 54 til GI) til vor nærværende Definition for Tallet og 

 ikke omvendt. Jeg haaber, at det vil erkjendes, at der er vundet noget væsentligt ved 

 denne Oversættelse , men det har været overordentlig vanskeligt at udforme denne Over- 

 sættelse i det forholdsvis vage Skriftsprog, som er uddannet under et System af paa dette 

 Punkt uholdbare Forudsætninger. 



Ethvert System af mulige Tal maa omfatte en fuldstændig Art al nødvendige Tal 

 og knytte sig til denne som dens Udvidelse; i Almindelighed vil der da for hver Art nød- 

 vendige Tal gives et analogt System eller flere af mulige Tal. Men enhver Slags mulige Tal vil 

 ogsaa som Talart kunne blive Udgangspunktet for nye Udvidelser af Begrebet mulige Tal. 



Det har. naturligvis baade i theoretisk og i praktisk Henseende stor Interesse at 

 here Talbegrebet at kjende i alle dets mulige Arter. Efterhaanden som Talbegrebet læres 

 at kjende i større Omfang, kommer det i Betragtning, om der gives konkrete Forestillinger 

 svarende til de theoretisk mulige Talformer, saaledes at disse derved maa erkjendes for 

 virkelige Tal. I denne Henseende vil det være afgjørende, om der efter Forestillingernes 

 Beskaffenhed kan paavises andre Bestemmelser af deres benævnte Tal ved Numeralsnume- 

 raler end saadanne, som hidrøre fra en Enheds Modsætning og Addition. Til Exempel skal 

 jeg henlede Tanken paa den Betydning, det for Planens Punktgeometri har, al almindelig 



