482 . 32 



Ligedannethedsbestemmelse her haves ved Siden af Modsætnings- og Additionsbestcmmel- 

 sen, som kun føre til Bestemmelser for Punkter paa en ret Linie. 



Da de kommulative I'rinciper ere fundne gyldige for alle de nødvendige Tal, laa 

 det nær at begynde Søgningen efter mulige Tal med den Hypothese, at der uden for disse 

 kan gives Tal, som besidde de komroutative I'rinciper. Man vilde, efter at have fundet alle 

 mulige kommutative Tal ingenlunde være fritaget for al spørge videre, om der ikke ogsaa 

 var Mulighed for ikke kommutative Tal; men hvor naturlig disse end kunne være beslægtede 

 med de nødvendige. Tal, vil den store Simpelhed i den sædvanlige Mathematik lide væsentlige 

 Sk aar ved Savnet blot af et af de kommulative Principer, saa al Tallenes Forhold overfor 

 disse altid vil paatvinge sig som en meget vægtig Grund til en Inddeling af Tallene. 



Forsøger man imidlertid nærmere Hypothesen om de kommutative Principers Gyl- 

 dighed, saa vil man finde, at Modsætningens og Additionens Ildvikling og Prøven derefter 

 kan udføres, men at Hypothesen overfor Multiplikationen er for vid til, at man uden yder- 

 ligere Hypothese kan udvikle Regningsreglerne. Den udfyldende Hypothese, som her naturligst 

 tilbyder sig, nemlig at de mulige Tal skulle have en n-leddet Hovedform, til hvilken Resul- 

 taterne af Regningsarterne alle vende tilbage, kan imidlertid ogsaa opstilles uafhængig af 

 Hypothesen om de kommutative Principer, og er vel ogsaa selv for vid til i Almindelighed 

 at gjøre al yderligere Hypothese overflødig, den kan dog føre videre end hin, og de Til- 

 lægshypotheser, som den endelig kræver, synes mindre betydelige. Derfor vælge vi denne. 



Lad os nemlig aller først betragte de nødvendige Følger af, at ét Tal i antages at 



existere uden a't hore til de nødvendige Tal. Ved Multiplikation med og Addition lil 



hvilkesombelst nødvendige Til a og b fremtvinges alle de i Formen 



a -\- bi 



indbefattede Tal, og af saadanne kunne ikke to være indbyrdes identiske, 



o -f- bi — c -\- di , 



med mindre baade a = c og b = d. Thi Ligningen medfører 



— o -f- a -+- bi + (— d )i = — a -f- c -f di + (— d ) i 



eller {b — d)i = c — a , 



c — a 



altsaa vilde i = -, , 



6 — d 



imod Antagelsen fremstille i som el nødvendigt Tal, med mindre som sagt a = c og b =(/. 

 Specielt kan o -f- bi ikke være et nødvendigt Tal, med mindre b = 0. Antagelsen af et 

 eneste ikke nødvendigt Tal medfører altsaa idetmindste en saadan Mangfoldighed af 

 relativt nødvendige Tal, som maa betegnes som dobbelt, idel de nødvendige Tals Mangfol- 

 dighed sættes som enkelt. Men Mangfoldigheden kan være endnu større, nemlig hvis ikke 

 alle i Regningsarter med Tal af Formen a -\- bi skulde give Resultater al denne samme 

 Form, Dér vil altsaa være Grund lil en Inddeling og lil al stille Hypothesen om de mulige 



