484 34 



Men enhver af de principale Sætninger om disse to Hegningsarter giver lüdrag til al finde 

 de Betingelser, som ip og <p maa opfylde. Entydigheds- og Omvendingsprineipeme kræve ikke 

 blot, at selve <p og ip skulle være entydige Operationer, der med nødvendige Tal give Funk- 

 tionsværdierne i nodvendige Tal, men ogsaa, at de indirekte Bestemmelser at' 



x ved y og <p(x,y) samt y ved x og <p[æ,y) 

 skulle være entydige i nodvendige Tal. Desuden maa specielt 



<t>[0,y) = 0, tp(x,Q) = x, v {0,y) = y og f(x,Q) = 0. 

 Fordringen om, al ethvert Tal skal være sit modsalte Tals modsalle Tal giver os Fnnk- 

 tionalligningerne, 



= /+?(— {*(«,/>, -f(«,/0 



= « + ip{-<p(a,}\ -<p(a,f)). 



Og Additionens associative Princip, 



{(a -f tø) + (c + &")) -f (* -f /i) = (a + tø) + ((c + di) + (<> + / i)) 

 giver Funktional ligningerne 



jMc, 6) + V M<\ f I«, 6) + d) = jj(c + <p[e, d), b) 

 og js(«, <p (c, b) -f- d) = p(c -I- $£(e, d), b) f p(e, d). 



I Stedet for delte Fuldstændige og almindelige Udtryk for det associative Princip kan man 

 dog sætte simplere, som hentes fra Summer af Formerne 



y . i -\- x -f- z og h . i + y . i 4- .?' 

 under deres Behandling efter det associative Princip. Her kan den Omstændighed nemlig 

 føres til Nytte, al det kommutative Princip vides al gjælde for alle nodvendige Tal. Saa- 

 ledes faas de fire dobbelte Funktionalligninger, 



4 (* > y) + 4 ) <p (•<-' > J") = 4> ( Æ + 2 1 yi = ç'' l* ) .v) + c'' r i p I« i m) , 



<p{z,ip (x , y)) = <f (.V + Z , ,!/) = ÇT [> , {5 I c , //I) . 



ji ( ip (.? , y), «) = ip (x,y + u) = j4 tø (.r , w) , y) , 



Og }u(Æ,y) + p(^(*,y), w) = p(«,y-fM) = {»(#,?«) + <p{ip(x,u),y). 



hisse Funktionalligninger tilfredsstilles ved 



4>(a,b) = ». , p>(a,&) = 6, 

 og da herefter tø-|-a = a -f tø, er Additionens kommutative Princip indicere! som 

 Grundbestemmelse for et af de mulige Systemer af todimensionale Tal. Yderligere er 

 det let nok al se, at denne Antagelse opfylder alle de Betingelser, som 

 Modsætningen og Additionen medføre. 



Derimod er det meget vanskeligt at løse Funktionalligningerne eller nogle af dem 

 paa en saadan Maade, al ogsaa alle andre Muligheder træde for Dagen. Dog er del lykkedes 

 mig — se Bilag I — at bevise, al der blandl Funktioner, som kunne differentieres, ikke 

 .nives andre end følgende Former for lp Og lp: 



