186 36 



(a -\- hi) . (c + di) = a (c -\- d i) + 6 . ■* (c -f tZt) 



= a(e -f dt) -f- i ( //(<■, (7) + (r (c, d) . i) 

 = «c + 6 H(c, d) +{ad + bG (c, ( Z) } . i. 

 Skulle nu specielt a -\- bi og c + di være reciproke, maa 



1 = ac + bH[e,d) og = ad + bG{c,d) , 

 hvorved a og b let Ondes udtrykte ved c og d. 



Til Bestemmelsen af Operationerne // og G kunne nu vel alle de almengyldige 

 Sætninger om Reciprocitet og Multiplikation give Bidrag, men medens de fleste af disse 

 kun begrændse Mulighederne i ringe Grad, vil Multiplikationens associative Princip alene 

 være i Stand til al bestemme det Søgte saaledes, at vi kun ville behove de øvrige Principer 

 til Kritiken af Resultatet. 



Af [a+bi] . ((c + dt) . [e+fi]) = ((a+bi) . {c + di)) . [e+fi] 



følge de to Funktionalligninger, 



H{ce + dH(eJ) , cf + dG(e,f)) = H(c, d) . e + G(c, d) . Hie, f) , 

 G{ee + dH{e,f) , cf + dG(e,f)} = Hic, d).f + G [c, d . G(e,f). 

 Dersom Hensigten er at finde alle mulige Løsninger af disse Funktionalligninger, er det 

 vist umuligt at opnaa saadant. Men tillader man sig at kræve, at G og H skulle være 

 Funktioner, som kunne differentieres, saa skal jeg i Bilag 11 meddele væsentlige Bidrag til 

 Losningen , ikke blot for todimensionale Tal men ogsaa af den analoge for »-dimensionale 

 Tal. Navnlig vil man i dette Bilag finde bevist, at det er en nødvendig Belingelse for nær- 

 værende Opgaves Mulighed, at der existerer hele, homogene Funktioner af anden Grad med 

 to Variable, som paa uendelig mange Maader ved lineær Transformation vende tilbage til 

 samme Form , — og nu er det bekjendt nok, at dette gjælder om alle disse binære anden 

 urads Funktioner; endvidere at Koefficienterne i den omtalte lineære Transformation ved 

 deres indbyrdes Relationer ville vise os Loven for de søgte Funktioner, saaledes at her 



x = av -\- IJ[a, b) a og y = bv -j- G[a, b) u 

 skulle transformere Funktionen, 



x 1 — Imxy — ny- , 



lil r(u 2 — 2mvtt — hu"). 



Af Betingelserne herfor: 



a- — 2 m ab — nb 2 = r 



all — m (a G -\- b //) — nb G = — r m 

 H 2 — 2mHG — nG* = —m, 

 hvor H= H(a,b) , G= G{a,b), udledes, idet g- = I, 



a G — bil = r s , 

 og af denne i Forening med den anden af de oprindelige Betingelser findes 



