;J7 187 



Il {a, li) = — ma -\- s . (ma -(- u b) 

 G (a, b) = e . (a — mb) — mb , 

 altsaa Formler med to arbitrære Konstanter, der efter Fortegnet e give os to Muligheder, 

 sum det har særlig Interesse at prove overfor vore Funktionalligninger eller selve Recipro- 

 citetens og Multiplikationens almengyldige Sætninger: 

 A) Naar e = + 1 , er 



H[x,y) = ny og G(x,y) = x — lmy. 

 Bertil svarer Multiplikationsloven : Naar 



* + !/ i = (-»'s + >/-2') ■ K + y ii i > 



skal x = x i x 1 -f nyj//! 



y = Æ 'a.'/i + y «^i —' 2m !/2>/i- 

 Det ses strax, at denne Mulliplikationslov er kommutaliv. Uisse Formler og deres Under- 

 søgelse bliver noget simplere, naar vi gjennemgaaende skrive x — my = z, hvortil svarer, 

 at man ved det specielle Valg k = m -j- i af det forste hypothetiske Tal, overfører den 

 almindelige Form af de todimensionale Tal 



x-\-yi = z-\-y(m-{-i) til = z + yk. 

 Saaledes er for z -{- yk = {z 2 -f- y.,k) . («, +y t k\ 



3 = «2-1 +Pl/-l</> 



y = s -2>h + y-2 s i > 



idel p = »C- -j- «- Hermed viser det sig nu, at alle Betingelserne kunne opfyldes: 



Skulle z., + y.,k og z x + «/!& være reciproke, maa 



Reciprociteten er allsaa en symmetrisk Operation, og den vil være entydig, hvor det behøves, 



naar blot ikke z- — py- = for andre nødvendige Talværdier af z og y end s = sam- 

 tidig med y = 0. 



Multiplikationen er entydig, og da den sker paa samme Maade, som om k havde 

 været et nødvendigt Tal, blot at 



fc* = p , 

 saa er det klart, at det associative Princip saavelsom det distributive Princip for begge 

 Faktorer gjæider; og oven i Kjobet, som sagt, det kommutative Princip. Den eneste 

 Betingelse for at saadanneTal af to Dimensioner skulle være mulige, er at, naglet k- = p 

 skal være et nødvendigt Tal, tør k selv ikke have denne Egenskab; denne 

 lielingelse falder nemlig sammen med den, som Reciprocitetens Entydighed gav, at der ikke 

 skal existere nødvendige Tal z og y forskjellige fra 0, saaledes at deres Forholds Kvadral 



