488 38 



var = p. Som bekjendl kan denne Fordring jo meget vel realiseres; og vi skulle snart 

 omtale, hvorledes det gjælder om alle Arter af nødvendige Tal, at de kunne suppleres 

 til Systemer af to Dimensioner; men først ville vi betragte vort andet Tilfælde: 



B) hvor s = — 1 , altsaa 



H[as,y) = —2 mas — ny og 0(as,y) = — as. 

 Multiplikalionsloven vil allsaa være folgende: 

 Naar x'-\-y'i = (,r. 2 -f y % i)[x 1 +y t i), 



maa as' = as. l x l — n.y i y 1 — 2mi/.,.i: { 



og !/' = «2^1 — y s *i. 



Indføres hor samme lielegnelse som i A), z = x — my, m- +n — p og m -J- i = Æ, 



haves simplere 2' = z 2 Z! — py^Ji 



y = z 2Vi— y**\- 



Skal her z 2 + «/ 2 Æ være reciprok med s , -(- y [ k , maa 



** = p— flt?« S ' /2 = P^^T* ' 



-1 — PUi ~i /^î 



5i = ,2 „ , . « °§ y> = = 2 2 , , „ 2 ' 



*2 P^2 *2 Wl 



som ikke frembyde nogen Modsigelse mod de almindelige Principer, men kun den samme 

 Betingelse som under A). Men Multiplikationen, (1er vilde være entydig, vilde ikke ube- 

 tinget fyldestgjøre det associative Princip, og derfor maa dette Alternativ forkastes som 

 en selvstændig Losning. Helt uden Betydning er det dog ikke. Betegne vi den Regningsart, 

 Multiplikation tør den ikke kaldes, som vilde svare til — 1 =s med Tegnet o, saa kunne 

 vi karakterisere den ud fra den virkelige Multiplikation ved 



(z 2 + y,k) o (3j + yi k) = (« s — y.,k) . (z, + yjz). 

 Medens det da er klart, at for tre Faktorer 



((Za + ya*) ° ( z * + !hM ° 1*1+^1*) = («a+^s*) ('2 — lli k 1 (-1 +!fi k ) 

 i Strid med det associative Princip er forskjellig fra 



(«3 + 2/8*) ° 0*2 +#2*) ° («1 +2/l Æ = < S 3 — 3^1 i Z 2 —y-l k ) (*! + #1*) ) 



vil dog ((«3 + 3/a^)o(z 2 + J'2*))o(Äi+«f'iÄ) = («a + y»*) J 2 + y^ ° ( z i + Z/i Ä '» i 

 saa at dog paa en Maade det associative Princip kunde opretholdes, dersom man turde 

 have begge Slags Multiplikationer i sideordnet Anvendelse. Dette forbydes nu rigtignok 

 ved Fordringen om Multiplikationens Entydighed; men den Forandring af k lil — k, som 

 herefter skulde kunne forekomme i Multiplikator, er overhovedet en aldeles nødvendig 

 Operation for Tallene med to Dimensioner. Thi et saadant Tal vil man ikke kunne siges 

 at kjende, med mindre man er i Stand til at bestemme begge dets Addender, c og yk i 

 Formen :-\-yk = </ alene ved q og k, og denne Opgave lader sig ikke luse ved de i 



