490 40 



sædvanlige binært komplexe Tals System er afsluttet i sig overfor enhver, idetmindste 

 enhver algebraisk Ligning, der dannes med de i principale Regningsarter, men er ligesaalidl 

 som i de to foregaaende Talarter afsluttet i sig overfor saadanne Ligninger, hvori foruden 

 ,r ogsaa det omlagte Tal x indgaar. 



Tal af flere end to Dimensioner. 



Skjøndt jeg aldeles ikke har til Hensigt her at ville blot tilnærmelsesvis udtomme 

 Emnet eller berige Videnskaben med hidtil ukjendte Talarler — man vil se, at Resultatet 

 snarere bliver det modsatte — maa jeg dog anlægge de systematiske Grundtræk saa bredt 

 som muligt, dels for at opfordre til Undersøgelser i de Retninger, hvor nye Opdagelser 

 kunne ventes, dels for at vise den Svaghed, der klæber ogsaa ved den Form for Hypothesen 

 om mulige Tal, som vi her have valgt: den forudsatte Egenskab ved disse Tal, at de skulle 

 kunne karakteriseres tilstrækkelig og inddeles efter Antal af Dimensioner. 



Medens saadan Hypothese for todimensionale Tal viser sig at være tilstrækkelig til 

 at afgive bestemte Former for de i Regningsarter, vil man strax mærke el Savn, naar 

 man prøver en analog Behandling af Tilfældet med 3 Dimensioner; det synes lier ikke at 

 være ligegyldigt, hvorledes vi vælge Hovedformen, blandt dem, der frembyde sig ved prin- 

 cipale Regningsoperationer med nødvendige Tal og to bypolhetiske Tal i og j. Vælge vi 

 Formen 



t = a + b i -\- ej 

 til Hovedform, og kræve, at / ikke kan bringes paa Formen a-^-bi, i ikke skrives a -|- ej 

 og al intet nødvendigt Tal kan være bi + cj, saa er i vel entydig givet ved de tre nød- 

 vendige Tal «, b og c, men ikke nødvendigvis omvendt disse ved t. Tænke vi os nemlig, 

 at a -\- bi + ej = a' + b'i -f e'j 



uden at a = a', b = b' og tillige c = c', saa ville vi vel kunne slutte, at 



bi -\- (c — c'\j = (a' — a) -j- b'i 



og j = r— p (~ bi + {a '~ a) + '''*) ' 



men heri ligger nu ikke, som ved to Dimensioner, nogen Umulighed, som kunde tvinge os 

 til at forkaste saadan Antagelse. Enten skulle vi da vrage denne Hovedform med overmaade 

 ringe Udsigt til at finde en, der var bedre; eller ogsaa maa vi skaffe os den uundværlige 

 Adgang til at reducere Afhængighederne mellem de tredimensionale Tal til Afhængigheder 

 mellem nødvendige Tal derved , at vi knytte liegrebet Dimensioner særlig til denne Hoved- 

 form , idet vi forlange den forstaaet saaledes, at a, b og c skulle være entydig be- 

 stemte ved t = a + bi + cj. Jeg antager, at denne sidste Udvej maa vælges, uagtet man 

 derved opgiver llaabel om al kunne udtomme Begrebets mulige Tal ved sukcessiv Behandling 



