41 491 



af Tal med tre, fire ... n Dimensioner og sluttelig saadanne, som ikke ved Regningsarterne 

 holde sig indenfor noget endeligt Antal af Dimensioner. 



Den saaledes modificerede Hypothese aabncr Mulighed for at finde Talarter, hvis 

 Addition ikke er kommutativ. Men her ville vi ogsaa nøjes med at antyde denne Mulighed, 

 og begrændse os til at søge saadanne mulige Tal, for hvilke Addendernes Orden er lige- 

 gyldig. Det er let nok at se, at denne Begrændsning baade for tre og flere Dimensioner 

 gjør den foregaaende Indskrænkning overflødig; gjældcr Additionens kommutative Princip 

 for Tal af n Dimensioner, da er Hovedformen ubetinget a -{- bi -\- ... -\- dk, med entydig 

 Bestemmelse af Koefficienterne «, b, ... d ved det n-dimensionale Tal. 



Enhver Addition fører tilbage til denne Form, 



(x 2 +y 2 i+...+U t k) + K-f y^+.-.+Mji) = 

 = (*'2+-*l) + l</«+<Jl)i+ ••• +(H 2 +U l )k. 



Summen er da entydig, omvendelig og associativ, fordi disse Egenskaber tilkomme de nød- 

 vendige Talkoefficienter .?' 2 +- ! 'i> l/s +#i i ••• «2+™i ' hvert af dens Led. I alt, hvad 

 Additionen og Modsætningen angaar, ere altsaa i, ... k, (n — I i Antal) mulige Tal i et 

 System af n Dimensioner. 



Spørgsmaalet bliver altsaa kun, om slige Tal og deres relativt nødvendige Tal ogsaa 

 overfor Reciprocitetens og Multiplikationens principale Sætninger forholde sig som n-dimen- 

 sionale Tal. 



I fuldstændig Almindelighed kræver Hypothesen kun, at 

 i(x+yi+... + uk) = .*' + y'i+ ... + u' k 



k{x-\-yi + . . . + uk) = ,r< n -') + y("- J ) i+ ... -{- «<"-')/; , 

 hvor æ'',!/', ...u' ... og æ'"-'), ^("-'i . ..?«("-') skulle være nødvendige Tal og Funktioner af de 

 nødvendige Tal æ,y ... u. Af Bilag II vil det ses, at denne Fordring i Forbindelse med 

 Multiplikationens associative Princip afgiver virkelig bestemmende Funktionalligninger. Men 

 da det kun for Tilfældet n = 3 er lykkedes mig at gjennemfore Løsningen til explicit Form, 

 og da min Undersøgelse ikke har ført mig til andre Talformer end saadanne, som kunne 

 betragtes som forud bekjendte, og da endelig disse alle kunne karakteriseres derved, at det 

 distributive Princip gjælder baade for Multiplikator og Multiplikandus, saa kan jeg gjøre min 

 Fremstilling simplere ved at drage dette Princips Gyldighed ind under Hypothesen. 



Men er Multiplikanden distributiv, saa vise de sidst anførte Ligninger let nok ved 

 Funktionalligningen F(æ u y u ... u x ) -f- F(x 2 ,y 2 , . .. u % ) = F(x l -[-x i ,y l -{-y i , ...t^ + Mj), at 

 ■i;', y',... u' ... og æ' ( " -1 ', ?/("—') ... «("-') alle maa være lineære homogene Funktioner af æ, y 

 ...m, saafremt disse ere nødvendige Tal — en Forudsætning, som vi med Flid gjentage. 

 Koefficienterne i disse Funktioner skulle være nødvendige Tal. 



Viilr-n.sk. Sclsk. Skr., 6. Kække, naturvidensk. ob matli. Afd. Il II. ., ., 



