492 42 



For at komme til de explicite Udtryk for Multiplikationen og Reciprociteten og faa 

 dem prøvede, gjælder det da kun om al bestemme disse Koefficienter; men dette viser 

 sig at være et stort Arbejde. Koefficienternes Antal er n 2 \n — 1), saamange Ubestemte 

 skulle findes ved Ligninger, som repræsentere de almengyldige. Principer. Alene Multipli- 

 kationens associative Princip medfører n' å [n — I) Ligninger. Rigtignok kan man allerede ved 

 selve det distributive Princip bevise, at ai = ia, ... ak — ka, og derved reducere begge 

 disse Antal noget: Koefficienterne til dem, som forekomme i Udtrykkene for 



ii ik 



ki, ..., kk 

 som n-dimensionale Tal, disses Antal er n{n— I)-; og Ligningernes Antal bliver ved en 

 Række Identiteter bragt ned lil n{n— l) a , disse ere alle af 2den Grad. Efter Koefficienternes 

 Restemmelse bliver der altsaa n (n — 1)- (n — 2) Betingelser, om hvilke det skal bevises, al 

 de alle ere identisk fyldestgjorte. Man maa altsaa søge ad andre Veje at komme ud over 

 en saa betydelig Vanskeligbed. Et Middel hertil er allerede anvendt af Weierstrass ved en 

 analog Undersøgelse, og bestaar i at erstatte de overflødig vilkaarlig ansatte Grundtal i,...k 

 med Potenser af et enkelt, f. Ex. j. 



Skal nemlig j tilhøre det n-dimensionale System, maa ogsaa 

 baade ,;' = o + ci 4- ... + <•/.', 



i, I 1,2 i,» 



p =, c -f- ci + . . . -f ck , 



2, 1 2. 2 8, » 



og j" — c -\- et '.-\- . . . 4r ck 



ri, 1 rt, 2 fl, n 



og altsaa kunne udtrykkes lineært ved i,... k saaledes, at Koefficienterne ere nødvendige 

 Tal. Ved al multiplicere disse Ligninger og Identiteten 1 = I med passende Faktorer, der 

 ere nødvendige Tal og ikke alle = vil man allsaa fiude en Ligning, 



«of + f i /"' + ■ • • + cn-ij + c n = , 

 og denne er enten af nie eller af lavere Grad. Saafremt den saaledes fundne Ligning 

 tænktes at være reduklibel, vil dens venstre Side lade sig opløse i Faktorer af lavere Grad, 

 hvis Koefficienter alle ere nødvendige Tal. I saa Fald maa j gjøre en af disse Faklorer 

 = 0, og kun til den deraf fremgaaende Ligning 



<V + d , /-' -f . . . Jr-ij 4- d r = , (r < n) 

 behøve vi at tage Hensyn. 



Hvis nu n = r, kunne de oprindelige Grundtal i,... k og dermed et hvilketsomhelst 

 af de hypotbetiske Tal af ?*-Dimensioner bestemmes ved Ligningerne for j, j' 2 , . . . j <B-1) 

 og bringes paa Formen 



«o + «ii + "J 2 4- ... + «("-').;'"-'>, 



