43 493 



hvor a'erne ere nødvendige Tal. Dette Tilfælde skulle vi behandle som Opgavens Boved- 

 løsning. 



Er derimod »•<«, vil Systemet af de hypolhctiske Tal af n Dimensioner omfatte 

 et System af r Dimensioner af Formen 



b + bj+ ... +/v-,/"- l >, 

 og delte, der kan behandles for sig ligesom det foregaaende n-dimensionale, vil vise sig at 

 være afsluttet i sig, og besidde alle de principale Egenskaber inklusive de kommutative 

 Principer ganske som de nødvendige Tal. Men heraf følger da vigtige Simplifikationer i 

 Behandlingen af det almindeligere, dette omfattende System, navnlig vil man kunne frem- 

 stille det almindelige mulige Tal som et saadant, der vil have færre Dimen- 

 sioner under Forudsætning af, at dets Grundtals Koefficienter ikke ere 

 nødvendige Tal, men r- dimensionale af j afledede Tal. Behandlingen af disse 

 Muligheder bør da aabenbart opsætles, til det ovenfor nævnte tlovedtilfælde n = r er 

 undersøgt. Ja! for ikke at skade Overskueligheden i det Følgende, maa vi nøjes med at 

 fremsætte Antydninger og ubeviste Paaslande om det hertilhorende. 



Forelobig er det altsaa vor Forudsætning, at det distributive Princip gjælder for 

 begge Faktorer, og at de ».-dimensionale Tal have Formen 



*+yj + ...+zj^- 2) +uji"-v, 



hvor j er bestemt som Rod i den irreduktible Ligning 



j» + ,: x y»-l + . . . -f c n _ij + C„ = Ü. 

 Det er da aabenbart, at Produktet 



(* s + !/■>) + ■■■ + ~2J n ~ 2 + «si» -1 ) ■ (*! +yd + ■ ■ ■ + zii"- 2 + »i/" -1 ) = 



= x i m i +...+Us s tt, +y t e l + ... +3*?, + u. i a: l )j n - i + ... + «„mj' 2 '"-", 

 saavel i denne Form som efter ved Benyttelse af Udtrykket for j" at være reduceret til 

 (» — l)te Grad vil være entydigt og derhos symmetrisk med Hensyn til Indices, saa at Multi- 

 plikationen vil være kommutativ. Og da Multiplikationen foregaar efter Reglerne for Poly- 

 nomiers Multiplikation ganske, som om ; var et nødvendigt Tal, maa ogsaa Produktet af 

 tre eller flere Faktorer give en bestemt Funktion af ligesaamange Gange (n — 1) te Grad med 

 Hensyn til j, og entydig reduceres til én normal Form af (n — I) te Grad uden Hensyn til 

 Parenthesernes Stilling: Følgelig gjælder Multiplikationens associative Princip. 



Spørgsmaalet, om j og de deraf folgende Tal kunne erkjendes for mulige Tal> 

 afhænger da blot af Forholdet til Omvendingsprincipet: Er Reciprociteten her entydig? 

 Betingelsen herfor udvikle vi mindst lige saa let ud fra de almindeligste Ligninger Side il. 

 i(se+yi -f- . . . -f- uh) = af -\- y'i -j- . . . u'k 



k (.* + y i + . .. + uk) = .(,•<"-') +y ( '- i) Ï+... + «<"--"/,■ , 



62* 



