49ü 46 



som antages at være irreduktibel i dut //(-dimensionale System, saa at j ikke tilhører dette, 

 saa feres vi til et System af almindelig mp Dimensioner. Ved specielt at lade c l , ...,c v være 

 nødvendige Tal, kan man opnaa at lade to og ved yderligere Udvidelse hvilkesomhelst 

 Rodder i algebraiske Ligninger optræde samtidig i et og samme flerdimen- 

 sionale System, for hvilket atter alle de principale Sætninger gjælde, navnlig 

 begge de kommutative Principer og det fuldstændige distributive Princip. 

 Man kan tænke sig de to Rødder repræsenterede af j og as. 



Kun maa vi herved bemærke, at man ikke maa mene hermed at have udtømt alle 

 Muligheder for flerdimensionale Tal med det distributive Princip. Vilde man søge at bevise 

 saadan Sætning, saa vilde man finde et svagt Punkt paa det Sted, hvor vi ovenfor fra det 

 distributive Princips Antagelse sluttede, at af, y\ ... o. s. v. ... z ( -"~ i) , u f "—'> skulle være 

 lineære homogene Funktioner af x, y, . . , z, u. Naar disse Koefficienter tænkes som fler- 

 dimensionale , er denne Slutning ikke tilladt. Ved Siden af de i principale Afhængigheder 

 optræder der jo allerede ved to Dimensioner en ny Afhængighed, Omlægningen; og 

 denne er distributiv. Naar a = b-\-c } er a=b + c. Som Følge heraf kan det distri- 

 butive Princip f. Ex. ogsaa fyldestgjores derved, at .»', y', . . ., s'"- 1 ', «("-'> blive lineære 

 homogene Funktioner af æ, y, ... : og u, eller af disse ved Siden af x, y, ■ . . ~, u. Og 

 denne Mulighed kan realiseres. 



Lad i det to-dimensionale Tal x -\- yj , x og y selv være to-dimensionale Tal. 



*• = 9 + ï' y = t) + v 

 * = 3 — v y = ^ — hi- 



Lad i 2 -j- p = og i 2 + C| = 0, idet g, £, i), 3 samt p og q betegne nødvendige Tal, da 

 vil, idet j{x-\-yj\ — af+ y'j, ikke blot af — — qy, y 1 ' = x kunne fyldestgjøre det distributive 

 Princip; men ogsaa 



af = —qy og y' = x 

 vil vise sig brugbart. Den deraf følgende Multiplikationslôv 



^2+y2Jn-r\+yJ) = x s X 1 — qt/ 2 y, +(d:,y l +y.,-e l )j 

 er nemlig ikke blot entydig, men ogsaa associativ, thi man finder 



&a+yaj)-(.&i+yij)-{ x i+yj)) = (i^a+yj) -{^i+yj)) -^i+yj) = 



--= x 3 x i x 1 —q(^iij.,yi +y 3 .!' 2 !/i +y 3 ^2- l 'i) + (-»a Æ 2^i 4-*' a ^2^'i + .Vs-^s -«i — 1^»Z/2^ll7- 

 Kun er, som man ser, Multiplikationen her ikke kommutativ. Men Reciprociteten viser sig 

 at være entydig og symmetrisk. Betingelsen for, at [x s -\-y 2 j) og [■i' 1 -\-y 1 j) skulle være 

 reciproke, er 



I = x i x 1 —qi/iih og = x. 1 y l -\-y- 2 x x 

 eller explicit 



