498 48 



som Følge heraf kan man alene ved de 4 Regningsarier oplose enhver Rvaternion i dens 

 4 Hovedled: 



8 4 l 1 "^ « "^ ü "^ fc/fc ) 



..,• _ JJ '7 , *'?« i'/y *£* \ 

 1 ', IT + » ~~ jj ~ hk I 



hi — _Ll-2._i£*4.M_M* i 



' 7 4 1 I it "*" # A/fe i 



En særegen Omlægningsregning er her overflødig netop paa Grund af, at Multiplikationen 

 ikke er kommulativ. Omlægning i alle tre ikke nødvendige Dimensioner udføres ved 



«- •-*-*-•* -rlf-iHMir} i 



følgelig kan man nu ogsaa indenfor et hvilketsomhelst System af to Dimensioner erstatte 

 Omlægningen ved «ad hoc» til Systemet a + bi at knytte et fremmed Tal j med Egen- 

 skaherne ji — — ij, medens jj er et nødvendigt, ikke kvadratisk Tal, thi da er 



a-bi- i£ + *M. 



JJ 



Medens, som vi have nævnt, de kommutative Tal af 4 (og andre Antal) Dimensioner 

 frit lade sig kombinere indenfor mere sammensatte Systemer, har man ikke ved livater- 

 nionerne Ilet til at erstatte de nødvendige Tal i deres 4 Led med flerdimensionale Tal; de 

 Hikvaternioner, som Hamilton paa denne Maade har opstillet, ere slet ikke Tal. Ivvater- 

 nionerne ere endnu det eneste bekjendte Tilfælde af ikke kommutative Tal. 



1 denne undersøgelse af Tallene med flere end to Dimensioner have vi brugt Ud- 

 trykket nødvendige Tal som Fælledsbetegnelse, og derved have vi undgaaet megen unyttig 

 Gjentagelse. Men strengt taget bør Undersøgelsen gjennemføres for hver Afdeling af Tallene 

 for sig. Ligesom vi have set ved de todimensionale Tal vil ogsaa her Forskjellen imellem 

 Arternes nødvendige Tal medføre Forskjel i de mulige Tal, som knytte sig til hver Art. 

 Denne Forskjel faar imidlertid kun paa et eneste Punkt af det omtalte nogen videre Betyd- 

 ning. Vi have forudsat, at man kan finde irreduktible Ligninger af en 

 hvilkensomhelst Grad, men dette gjælder kun med en vis Undtagelse. 



1 de begrændsede Talarter, hvor et Primtal p = 0, gjælder Sætningen, men Antallet 

 af mulige Grader er endeligt = p — I, følgelig ogsaa Antallene af de mulige irreduktible 

 Ligninger og af de mulige Tal. 



Sætningen gjælder ligeledes for det ubegrændsede System af rationale Tal som de 

 nødvendige Tal, og her uden Begrændsning. Af enhver Grad, som nævnes kan, exislerer 



