49 499 



der en Mangfoldighed af irreduktible Ligninger, liver Rod i en saadan kan opfattes 

 som et fler-dimensionalt Tal, og Dimensionernes Antal kan i ethverl Tilfælde opfattes 



som saa stort, at dette Tal kan bcstaa som muligt Tal ved Siden af et hvilketsomhelst Sy- 

 stem af andre Rødder i samme eller andre irreduktible Ligninger. 



Naar derimod Kontinuitetsaxiomet skal gjælde, saa at de nødvendige Tal blive at 

 forstaa som de «reelle Tal« , existerer der ikke irreduktible Ligninger af højere end anden 

 Grad, enhver hel algebraisk Ligning lader sig jo opløse i et Produkt af Ligninger af 1st« 

 eller 2den Grad med reelle Koefficienter. Medens der altsaa vel existerer todimensionale 

 kontinuerte Tal og et System af kontinuerte K vaternioner, der simplest skrives 

 med p = q= 1, Hamiltonske, kjendes der for Tiden ingen anden mulig Udvidelse af det 

 kontinuerte Talbegreb. Navnlig er det sikkert, at der ikke existerer ko m mutative 

 kontinuerte Tal af flere end to Dimensioner. 



Delte stemmer med Udtalelser af Weierstrass (Göttinger Nachrichten 1 884 ) , uagtet 

 Weierstrass's Ord maa synes at modsige vort Resultat. Men det tor derved ikke overses, 

 at den Sondring imellem Tal og andre Numeralsbestemmelser, som vi have gjort, ikke er 

 bleven iagttaget af Weierstrass, der lader sine Mangfoldigheder indbefatte baade Tilfælde, 

 hvor der findes endelige «Divisorer til 0«, og saadanne, hvor et Produkt kun kan blive 

 derved, at en af Faktorerne er 0; og som ikke synes tilbøjelig til heri at se en meget 

 væsentlig Inddelingsgrund. Naar Weierstrass altsaa, idet han tydelig nok taler om konti- 

 nuerte kommutative Mangfoldigheder af »ite Grad, kan gaa ud fra, at saadanne existerer 

 for ethvert n, men at der for m>2 bestandig gives «Divisorer til 0» deriblandt, saa er dette 

 i god Overensstemmelse med, at det her benægtes, at der kan existero kommutative n-dimen- 

 sionale Tal, naar n > 2. 



Da der nu viser sig Mulighed for, al man uden Kontinuitetsaxiomet alene paa 

 Grundlag af en Opfattelse af de rationale Tal som de nødvendige Tal kan naa saavidt, at 

 de formelle Hovedsætninger for de algebraisk irrationale Tal kunne bevises, saa kunde man 

 være fristet til at rejse Sporgsmaal om, hvorvidt Kontinuitetsaxiomet virkelig er nødvendigt. 

 Jeg mener ikke, at man nogensinde for Alvor vilde falde paa at bortkaste delte Axiom, der 

 ialtfald er et saa udmærket tidsbesparende pædagogisk Hjælpemiddel, men jeg kunde tænke 

 mig, at En eller Anden vilde drage Axiomets strængt systematiske Nødvendighed i Tvivl. 

 Overfor saadan Tvivl maa jeg gjøre to Bemærkninger. 



Den første angaar saadanne irrationale Tal som n og e, der ikke ere Rod i nogen 

 algebraisk Ligning af endelig Grad med rationale Koefficienter. Hvorledes skal man uden 

 at bruge eller indsmugle Kontinuitetsaxiomet bevise, at en = net Jeg kan tænke mig, at 

 man vilde henvise til en Fremgangsmaade analog med den Inddeling af Tallene, som oven- 

 for er brugt, hvor vi sondrede mellem de Tilfælde, hvor 2 = 0, 3=0, 5 = . . . p = og 



Vidcnsk. Selsk. Skr.. G. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. II. 63 



