500 50 



endelig i Modsætning til alle disse positive Antagelser blot forudsatte, at ikke kan frem- 

 bringes ved Addition af Enere. Saaledes skulde vi da lier, efterat bave tænkt os Beviserne 

 forte for Tal af alle endelige Antal Dimensioner, forudsætte, at der gaves mulige Tal, som 

 overbovedet ikke vendte tilbage til samme Form a -f bn + ctt 2 + . . . -\-uit n ved enhver 

 af de principale Regningsarter, og derved skulde vi saa søge at begrunde de kommutative 

 Principer som en mulig Løsning. Jeg kan ikke helt afvise denne Analogi, og jeg ser ikke 

 noget umuligt i, at de kommutative Principer kunne forenes med denne negative Forud- 

 sætning, men endnu mindre er jeg rigtignok istand til at øjne et Bevismiddel, som lod sig 

 anvende under saadan Forudsætning; og jeg maa kræve at se dette hypolhetiskc Bevis, 

 førend jeg vil tro paa, at det kan føres uden Kontinuitetsbetragtninger. 



Men selv om Beviset for de kommutative Principers Gyldighed for alle mulige irra- 

 tionale Tal var fort i bedste Maade uden Kontinuitetsaxiomet, blev dette dog ikke overflodigt. 

 Thi med Beviset for de kommutative Principer have vi jo aldeles ikke faaet ordnet de 

 irrationale Tal, indordnet dem hvert paa sin Plads imellem de rationale Tal, heri maa 

 man dog vel kunne se et væsentligt og uerstatteligt Udbytte af Kontinuitetsaxiomet. Helt 

 umuligt er det dog ikke at foretage en formel Indordning af de irrationale Tal i de rationales 

 Bække paa lignende Maade som den, vi have kunnet anvende ved Brøkernes Ordning. 

 Man kunde jo saaledes vedtage at give det irrationale j fra j" -j- c 1 j n ~ i + . . . -f- c„ = 

 Plads imellem de rationale Tal, som gjøre denne Lignings venstre Side positiv og negativ; 

 men man ser da ogsaa strax, at denne Ordning er flertydig; hver af de n Rødder kunde 

 jo gjnre Krav paa hver af de n Pladser. Kan man nu løse Ligningen og fremstille hver 

 Bod ved Rødder i rationale Ligninger af lavere Grad, saa kan man rigtignok reducere denne 

 Flertydigbed til vilkaarlig Fastlæggelse af visse irrationale Grundtal. Maaske kan man be- 

 tragte den her antydede Vanskelighed som et teknisk Problem uden systematisk Betyd- 

 ning, maaske ikke. 



Afgjørelsen for eller imod Kontinuitetsaxiomet søger jeg dog ikke ad disse formelle 

 og abstrakte Veje. Jeg har ovenfor (Side 16 — 17) henvist til konkrete Exempler, i hvilke jeg 

 mener at se Grupper af konkrete Forestillinger, som man ikke tør tillægge Kontinuitet, og 

 til hvad jeg har sagt om disse Retningssystemers Forhold til de rationale Tal , kan nu 

 føjes, at en Udvidelse til irrationale Tal er mulig (dog med specielle Undtagelser f. Ex. n) og 

 herimod kan man jo let nok stille Exempler paa kontinuerte Forestillinger. Kan man end 

 ikke i snævreste Forstand beraabe sig herpaa som paa egentlige Erfaringer, er det end 

 umuligt at sige, hvorledes f. Ex. Rummet ser ud under uendelig stærk Forstørrelse, saa er 

 Kontinuitetsaxiomet mig dog en Erfaringssætning, og overfor vore Forestillinger om Tid, 

 Rum, m. m., er det dybt begrundet i Menneskets Natur, at der maa kunne sondres mellem 

 væsentlig og uvæsentlig Forskjel, og selve denne Grændses flydende Natur gjør det nød- 

 vendigt at indføre Numeralerne, næsten identisk, og dermed Kontinuiteten i Mathe- 

 matikken. 



