51 501 



Perend jeg slutter dette Arbejde, maa jeg i største Korthed berøre Størrelsernes 

 og Mængdernes særlige Forhold. Det vil allerede af det Sagte fremgaa, al jeg opfatter Fore- 

 stillingerne af disse Kategorier som niere sammensatte end dem, vi særlig have givet Navn 

 af mathematiske, og hvis Kjendetegn er, at de undlagelseslost bestemme hinanden ved Nu- 

 meraler. Tilstedeværelsen af en Forestilling om et absolut bestemt naturligt Intet i hver 

 Art af Størrelser eller Mængder og den deraf folgende Begrændsning, hvorefter ikke enhver 

 overhovedet brugelig Bestemmelse kan anvendes ud fra en hvilkensomhelst af Artens spe- 

 cielle Forestillinger, ere os de afgjørende Kjendetegn paa Størrelsernes og Mængdernes 

 mere sammensatte Karakter. Ved Siden heraf er det ikke væsentligt, at vi af Naturen 

 tvinges til at gjøre os fortrolige med Størrelser og Mængder længe forinden vi kunne sætte 

 os i Forhold til de simplere Bestemmelser af Tingpunkter og andre mathematiske Fore- 

 stillinger. Følgen er kun en Konflikt imellem de pædogogiske og de systematiske Fordringer, 

 som har uheldig Virkning til begge Sider og gjør det nødvendigt , at baade den personlige 

 Tilegnelse og den videnskabelige Fremstilling maa gaa ad Omveje og kun kan naa Maalet 

 under gjentagen Udrensning og Tilnærmelse. 



I vort System vil Størrelsernes Behandling finde deres rette Plads efter Udviklingen 

 af Begrebet nødvendige Tal og i Forbindelse med Kontinuitetsaxiomets Opstilling. Der vil 

 derved være at tage Hensyn til, at mange af de specielle Størrelsesforeslillinger knytte sig 

 til beslægtede mathematiske Forestillinger (f. Ex. Afstanden til Begrebet om Sted paa Linie) 

 og fremgaa af disse ved en Abstraktion (fra Retningen); men ogsaa for de Stnrrelsesfore- 

 stillinger, der savne slig direkte Stotte, vil man uden Vanskelighed kunne opstille Hoved- 

 reglen for Størrelsernes Behandling, at man vel kan operere med Storrelsesbestemmelserue 

 som med egentlige Tal, men dog er forpligtet til at forkaste ethvert Resultat, hvori andre 

 Tal end positive Tal og optræde som Bestemmelser af Størrelse. 



For enhver systematisk Fremstilling af Mathematiken bliver det en væsentlig Opgave 

 at frigjøre Sprogbrugen for Reminiscenser fra den Tid, da hele Mathematiken var baseret 

 paa Størrelses- og Mængdebegreberne. Forst, og fremmest maa man da undgaa vildledende 

 Brug af disse Begrebers Navne. Udtryk som «negative eller imaginære Størrelser», der 

 skrive sig fra Oversættelser fra Sprog , som savne et selvstændigt Ord for Tallet , bør paa 

 Dansk og j de ligesaa heldig stillede Sprog forfølges som ligefremme Selvmodsigelser. 



Det er forøvrigt ikke blot selve Ordet Storrelse, hvis Misbrug kan gjøre Skade. 

 Ogsaa andre mindre iøienfaldende sproglige Fænomener, især Brugen af den absolut beskri- 

 vende Form, hvor den for Nemheds Skyld lunges i virkelig relative Bestemmelser, cre farlige. 

 Dette fremtræder dog især overfor Forestillinger af Mængdernes Kategori. Uagtet vort Sprog 

 ogsaa der er rigt nok og tillader os at stille de «hele Tal» i Modsætning til «Antallene» 

 som de positivt hele Tal, viser dog det mere populære Begreb — Antal — sig at have 

 saa dybe Rødder i Sproget og derigjennem i Tanken fremfor det systematisk simplere 



6.r 



