502 



52 



Begreb hele Tal, at jog, selv efter at være bleven opmærksom paa del betænkelige deri, dog 

 ikke har kunnet undgaa den Inkonsekvens at indføre Antallene paa et meget tidligt Stadium 

 i dette Arbejde, hvor der efter mit System kun turde tales om hele Tal. Saavidl muligt 

 har jeg søgt at forvisse mig om, at dette kun rammede den ydre Form og ikke Sagens 

 Rjærne. Jeg nærer saaledes ingen betænkelighed ved i Anledning af Modsætningens og 

 Tilføjelsens Hovedsætninger at have brugt de simpleste Talord og især ubestemte, og hvor 



n 



Tilføjelser af identiske Numeraler i Bestemmelsen # fremfører Antallene førend de hele 

 Tal, der følger Supplementet -i- * saa umiddelbart efter, at Skaden ialtfald ikke kan være 

 stor og vel opvejes ved den naturligere Fremstilling. Men jeg erkjender, som sagt, at den 

 omtalte Inkonsekvens er tilstede. 



Bilag I. 



(2) 

 (3) 

 (i) 

 (5) 



Funktionalligning-erne for Additionen af todimensionale Tal. 



Naar man angaaende Funktionalligningerne 



SM«, y) + ${z, <p\®, y)) = </>{x+z, y) = ø(z, y) + </'{■'; <p l~. y)) 

 <p O, <p K y)) = <p ( Æ + z, y) = <p 0'> f ta yO 



<p{<p[x,y),u) ■■= </>{x,y+u) = tp(tp(x,u),y) 



p(g».y l+y# jgiy)i«0 = ptøy+w) = pi«, "> + <pW' (■''>">, y), 



som afgive Betingelser for, at 



y i -f x = <fiiæ, y) + y (æ, y)i , ( I ) 



(se Side 34), forudsætter, at de ubekjendte Funktioner <p og f kunne differentieres, kan ud- 

 tømmende Bestemmelse opnaas; lettest naar man tager Hensyn til, al ifølge ill 

 <P(0,y) = 0, (6) og j&{*,0) = *, (7), 

 ?(0,y) = !/, (8) og p(«,0) = 0, (9). 

 Differentiation af (2) og (3), hver en enkelt Gang med Hensyn lil de 

 iblandt de i indbyrdes uafhængige Variable, x, y, z og u giver 



d>p(æ ,y) d<l){z,<p(x,y)) _ d< p(x,y) _ = dip(z,y) _^_ d(p(x, y{z,y\) _ dt p(z,y) 



dx dtp[x,y) dx dz df[z,y) dz 



d</>[x,y) , dij)(z,<p{x,y)) _ d<p(x,y) = _ dip[s,y) , d<l>(_as,<p(z,y)) _ d<p(z,y) 



dy df(x,y) dy dy df[z,y\ dy 



dip{z,<p(x,y)) _ d<p(x,y) = d<p{x,<p (z,y)) _ dip(z, y) 



d<p(x,y) dx d<p(z,y) dz 



d(p{z,<p{æ,y)) _ d<p(x ,y) = df(x,tp (z, ;/)) df{z,y) 



d<p(x,y) dy d<p[z,y) 



tjenlige 



dy 



1 3 a). 



