53 503 



Hvad der lier maa være os magtpaaliggende , er først og fremmest at faa elimineret de 



Funktioner, hvori alle tre Variable x, y og z indgaa; af saadanne tindes der imidlertid i i 



vore Ligninger, saa at yderligere Differentiation kunde synes nødvendig. Paa Grund af de 



lo sidste Ligningers (3 a) Homogenitet, er Elimination dog mulig. Man kan ikke have 



d<p{z,w) _ d<p[x,a>) _ 



i — u o-, j — u , 



a (o a a) 



llii den særlige Betingelse (8) er i Modstrid hermed, folgelig maa 



df(x,y) _ dipiZjj/) _ _ iUp[x, y) _ d<p{z,y\ _ 



dx dy dy dz 



hu nu x og z ere indbyrdes uafhængige, og paa Grund af den nævnte Betingelse (8) 



<P\^i!J) -^ Ui m;ia i 'det ll[y\ belegner en foreløbig ubekjendt Funktion af y alene 



HM d SpÉ = d lpH. ,2 b) 



dx dy 



Men ifølge denne Ligning bestaar der yderligere en saadan Proportionalitet imellem Koef- 

 ficienterne til de ubekjendte Funktioner af 3 Variable i Ligningerne (2 a), at disse ubekjendte 

 kunne elimineres; den Muligbed, at disse ubekjendte Differentialkvotienter 



d<l>(z,<p(x,y)) qo d<p{æ, tp(z,y) ) 

 d<p(x,y\ d<p(z,y) 



kunde være uendelige for alle Værdier, afska;res ved vor Forudsætning om, at Funktionerne 

 <p og <j> skulle kunne differentieres. 



Multipliceres da den forste Ligning (2 a) med H(y) og subtraheres derfra den 

 anden, faas fJ d$(x,y) d<P(x,y) _ { d$(z,y) d<fi{z,y) = _ y 



J dx dy ' J dz dy 



hvor Y betegner en ubekjendt Funktion af y alene, saaledes som den maa være paa Grund 

 af Ligegyldigbeden af, om x eller z indgaar i dens Udtryk ved </>. 

 Paa aldeles analog Maade findes af Ligningerne (i) 



K(x) d<P^y) = d<f,{x,y) 

 dy dx 



og af ,5) K(x) ÏPpÉ _ d JPpE + X - 0, (5 b) 



dy d x 



hvor K{x) og X ere Funktioner af x alene. 



Af (2 b) og (i b) faas nu 



(l-K { x)H { y)) d -t£f=Y, 



(.1* d) i X '/) 



der ved den dobbelte Bestemmelse af — / ,' s , som de afgive, føre os lil Betingelsen 



dx dy 



K'{x) . YH(y) - {K{x)Y . ( YH'{y) - Y'll[y)) - K(x) . Y' = O, 1 1 0) 



