512 62 



Konklusionen bliver, at Koefficienterne alle niaa være konstante, og dette kunne vi udtrykke 

 ved at skrive 



(s | ) x r , y r , z r ) a = {•<',,,</,■, --,} a . 



Vor tredie Ligning giver derfor ogsaa 



{•\2i %,2> ~\ 2 } 3 =- { Æ 3. y«. ~* 3 } 3 • {**. %> ~ 2 } 3 - 



Nu er imidlertid æ i2 , y S2 , z % 2 lineære homogene Transformationer af x A ,y 3 og z s 



'\ 2 = Æ ' 3 Æ ' 2 + y3 Æ 2+ v-2 

 %. 2 = ^2 + ^2 + ^/2 



2. 



' V 3 S 2+ 1 J 3 Z 2+ Z 3~2- 



3, 2 '"3*2 I ^3 2 I 3~2 



Følgelig maa — og dette gjælder for n Dimensioner saavel som for o - - den hele alge- 

 braiske, homogene Funktion 



\ æ > Ul • • •! U f ! 



som er af «te Grad med « Variable, være en saadan, at den, afset fra en ligegyldig Faktor, 

 kan transformeres til sig selv paa lineær, homogen Maade. De lielingelser, som saadanne 

 Transformationer maa være underkastede, ville, da Transformations- Koefficienterne ere 



vise, hvilke de søgte Afhængigheder ere, hvori de markerede .<•, y, :, . . . staa til de umar- 

 kerede, og altsaa afgive Løsningen af vor Opgave. 



Hvad der i Almindelighed kan siges herom er da navnlig, at Funktionen {•?',//, ... "}" 

 maa kunne transformeres paa uendelig mange Maader, eftersom x t , y», . . . u„ skulle være 

 aldeles vilkaarlige nødvendige Tal. Der er nu to Klasser af Funktioner, som her kunne 

 komme i Betragtning, nemlig; I) Produkter af n homogene lineære Funktioner af de n 



Variable x, y, ... u ; og 2) Potenser af Graden -=- af én anden Grads Funktion af samme 



Variable. I det første Tilfælde gjenlinder man de Tal af hvilkesomhelst n Dimensioner, 

 for hvilke ogsaa Multiplikationen er kommutativ. Det andet Tilfælde, som forudsætter, at 

 n er lige, kjende vi i dets to simpleste Tilfælde; for n = 2 falder det sammen med lin- 

 nævnte, for w = 4 kan det vises at give Kvaternionerne; om det ud derover lader sig 

 realisere navnlig for n = 6 eller u = 8, er mig ubekjendt. 



Med Hensyn til de kommutalive Tals Behandling ud fra dette Synspunkt er der 

 dog endnu en Bemærkning at gjare. Betegne vi med f, y, ... v de lineære Faktorer i 

 [x, y, . . . u)" , altsaa 



