Resume. 
line des équations différentielles qui conduisent à l'addition des fonctions ellipti- 
ques, a dès l’origine été exécutée d'après des méthodes empiriques incertaines. C’est ce 
que confirment les mémoires d'Æuler (voyez surtout les Tom. VI, VII, VIII des Novi com- 
ment. acad. scient, Petropol.) tant par les calculs eux-mêmes que par des assertions direc- 
tes. Lagrange se sert d'une méthode directe qui n’a pas cependant un caractère de géné- 
ralité (conf. Boole a Treatise of diff. equations, Cambridge and London 1865). Un procédé 
employé par Lacroix (traité du calc.) a amené Sturm et Despeyrous (Liouville, Journ. 1856) 
à intégrer au moyen d'un facteur dont ils n’indiquent pas l’origine. 
Il est d’abord facile de déterminer quelles sont les équations différentielles de 
la forme 
NGE SING) ae Poss 6 crash Glo. G) Nee (1) 
qui se laissent intégrer par partie (Méthode de Zacroëx). En effet, lorsque 
DOME UN as (OCHS Na) EEN RER (2) 
(1) a pour équation primitive 
UDE ENGEN eg ee io, FE Pema fo eo eS hue (3) 
et (2) peut s’écrire 
(<a + yo — uM) dx + Er + (EN — UN) dy == 0 
qui coexiste avec (1); par suite 
dM dN dM dN 
ae tesa TUE P 
= - epee sees lan ser (4) 
est la condition à remplir pour que (3) soit l'intégrale de (1). 
Maintenant, si l’on pose M = Fly), N = Fla), l'équation (3) donnera le théorème 
de l'addition pour 
f RE dx 
a = \ mer 
Mais l'équation de condition (4) se réduit en même temps à 
d. N? d.M? 
d.x? d.y: 
d'où l'on tire 
M2 =A, + By?, N® = A; Bae:. 
DL équation 
VA, + By? dx + VA, + Bu? dy = 0 
est donc la seule de la forme F\yj)dx + Fix)dy = 0 qui par une intégration directe par 
partie, donne une équation primitive xF\y) + yF\x) = c, savoir 
aV A, + By? + yVA, + Ba? = c. 
