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or 
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Surfaces de révolution à courbure moyenne constante. 
jusquà laxe et l'are correspondant compté à partir du sommet tend vers une 
limite finie, exprimée par la série 
1 1 \2 AE 2 Sn Vs 
a ee eo: 
et il est évident que si l'on fait AP — D, P sera la position occupée par le 
centre de lhyperbole, lorsque son asymptote est couchée sur XX. En ce 
moment laxe transverse de lhyperbole a la position A'A* et le foyer est 
venu en G. Le point de contaet étant à linfini, son rayon veeteur, ou la 
normale à la roulette au point G, est parallèle à XX!, d'où l'on conclut que 
lordonnée GB est tangente à la courbe. On voit d'ailleurs que cette ordon- 
née n'est autre chose que la distance du foyer à l'asymptote, distance qui est, 
comme on sait, égale au demi-axe conjugué hb.  L'abscisse du point G est 
AB — BP — AP — 4 — D. 
Lorsque la branche supérieure A'L' de I’hyperbole touche laxe XX' 
dans un point infiniment éloigné vers la droite, la branche inférieure A°L° 
est aussi tangente au méme axe, mais à une distance infinie vers la gauche. 
Dés ce moment c'est la branche inférieure qui doit rouler sur l'axe des x de 
manière que le point de contact parcoure cet axe dans la direction de gauche 
à droite. Le foyer continue à monter ou à s'éloigner de l'axe des x, jusqu'à 
ce que le sommet de la branche inférieure soit venu au point C en contact 
avec la droite XX' et que laxe transverse de l'hyperbole soit devenu de nou- 
veau perpendiculaire à cette droite. Le foyer supérieur se trouve alors en 
H à sa plus grande distance a (e+ 1) de laxe des x. Puisque tous les 
élémens de la branche A?L? à partir de l'infini, ont touché successivement 
la droite X'C, CP sera évidemment la différence entre deux longueurs infi- 
nies portées la première sur lasymptote à partir du centre, la seconde sur 
l'hyperbole à partir du sommet, de manière que leurs extrémités répondent à 
la méme abscisse, différence que nous avons désignée par D. 
La branche inférieure de l'hyperbole continuant à rouler sur laxe des zx, 
le foyer, d'abord en H, commence à descendre vers cette droite, tout en dé- 
crivant de l'autre côté de l'ordonnée HC une courbe HIK symétrique à HGF. 
Le point de contact parcourt la droite CX jusqu'à l'infini, ou jusqu'à ce que 
lasymptote coincide avec cette droite. Le foyer arrive au point I, symétri- 
que de G, et le centre en Q, CQ étant égale à la différence D. En ce 
moment la branche supérieure devient tangente à la droite XX' et commence 
à rouler sur celle-ci. Enfin elle arrive à la position où le sommet est en 
contaet avec laxe des x en E, EQ étant égal à D; le foyer, alors en K, 
a acquis de nouveau sa distance minima KE = «(e — 1) de XX, et la chai- 
