Surfaces de révolution à courbure moyenne constante. 561 
e augmente. En méme temps que les noeuds approchent ainsi de la forme 
circulaire, leurs proportions diminuent incessamment, jusqu'à ce que pour 
e — o» la courbe entiére se réduise enfin à un cercle infiniment petit, c'est 
à dire à un point. 
S. Pour achever l'étude des courbes dont nous venons de tracer la mar- 
che générale, et des surfaces engendrées par leur révolution, nous allons éta- 
blir quelques relations différentielles entre ces courbes et les coniques dont 
elles dérivent. Dans ce qui suit, les lettres 4, €, p, d, r, v, x, y, S, con- 
servent la signification qu'on leur a déjà attribuée (n° 3); nous désignons 
en outre par 6 lare de la section conique, par S la surface plane comprise 
entre la roulette, l'axe et deux ordonnées, par U la surface de révolution en- 
gendrée par la roulette, et par W le volume du solide de révolution, compris 
entre deux bases circulaires et perpendiculaires à laxe. Cela posé, en diffé- 
rentiant l'équation 
) 
i mp o 
on trouve 
ar rdv do 
esinv 1+ecosv 4 1-r-2ecosv-- e? 
d'où 
v pW 1 + 2e cos v + e? dv 
7) do 
i (1 + e cos v)? 
On a d'ailleurs, « étant l'angle compris entre la tangente à la conique et le 
rayon vecteur, 
. rdv 1 + e cos v 
sin « — = 
de M1+ 2ecosv+e? 
dr e sin v 
COS & — = Lee a 
do W1+2ecosv+e? 
et 
: p 
JS o — I 
MI+2ecosv+e? 
Cette dernière équation étant différentiée, il vient 
pe sinv dv p eos a dv 
dy = — : 
(1+2ecosv+e2)?  1+ 2e cos v + e? 
Or, nous avons trouvé (n° 3) = sin TE. «, ou bien 
s y 
ds 
ds | dx dy 
1 sin« cos« 
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