Surfaces de révolution à courbure moyenne constante. 363 
= q Vang (4591): UE 7 
cos 2 
v i b v 
s — q tang, S = q?1iang 3 = 45: 
4 20 eu ve 
U = I UE 
TQ6 m 3 
L'are 6 étant égal à la partie de l'axe comprise entre l'origine et la nor- 
male à la chaînette, les deux dernières formules renferment évidemment les 
deux théorémes suivants: 
L'aire du catenoide, ou de la surface de révolution engendrée par une 
portion de chainette quelconque, est la moitié de la surface courbe d'un 
cylindre droit, ayant pour base le cercle de gorge du caténoide et pour 
hauteur la partie de l'axe comprise entre les normales menées aux deux 
extrémités de la chainette. 
Le volume du catenoide, termine par deux plans quelconques perpen- 
diculaires à l'axe, équivaut à la moilié du cylindre, ayant pour base le 
cercle de gorge el pour hauteur la partie de l'axe comprise entre les nor- 
males extrêmes à une méridienne. 
Le volume du caténoïde s'obtient aussi en multipliant la surface du ca- 
ténoïde par le demi-rayon du cercle de gorge. 
On sait que le caténoïde est la surface de révolution dont l'aire est mi- 
nima entre des limites données. Mais j'ai démontré ailleurs *) que cette pro- 
priété cesse d'avoir lieu, lorsque les tangentes aux points extrêmes d'une mé- 
ridienne se rencontrent sur laxe de révolution ou au-dessous de Jui. Suppo- 
sons que les tangentes extrêmes concourent à l’origine méme, ou au centre 
du cercle de gorge, en sorte que le caténoïde se compose de deux parties 
égales et symétriques, et appelons caféno?de complet la portion de caténoïde 
ainsi déterminée. Nous allons en évaluer la surface et le volume. 
Puisque la tangente menée à l'extrémité de la méridienne passe par l'ori- 
gine, on a pour cette extrémité 
rn — t COR, 
« étant l'angle que la normale 7 fait avec laxe. Cet angle est évidemment 
909 — 2. On a d'ailleurs 
+) Lecons de calcul des variations par L. Lindelöf, rédigées en collaboration avec M. 
l'abbé Moigno, Paris 1861, p. 210. M. l'abbé Moigno m'a fait l'honneur d'insérer ce même 
ouvrage dans ses Zecons de calcul différentiel et de calcu! intégral, tome IV. 
