Surfaces de révolution à courbure moyenne constante. 367 
11. A cet effet, nous commencons par rappeler quelques formules soit 
connues, soit faciles à déduire, et qui se rapportent à la théorie des fonc- 
tions elliptiques. En faisant, conformement à la notation de Legendre, 
A(c,q)=V1 — c? sin?p 5 
pag 9 : 
— nt (( À 1g . ; —IEICCH , 
Ih AC, 9) (6,9) dp.A(c,œ) (6,9) 
eo 
on trouve 
P sn?pdp | F(c,9) —E(c,9g) 
eo Ac; Pp) : c 
9? sintpdp — (2-Fc?)F (c, g) — 2 (1-- c?) E (c, 9) 
ones: qiia 3c4 
sin g cos o Alc, g). 
3c? 
+ 
Entre deux fonctions de la première espèce F (c,œ) et F(c', g), dont les mo- 
dules satisfont à l'équation 
NG, 
1+c 
et dont les amplitudes vérifient celle-ci 
sin (29 — p)= csin 9, 
on a la relation connue 
1+c 
2 
B (COSE F (6,9), 
d'où il résulte pour les fonctions complètes 
Riten) A CE (cc) 
Une fonction de la première espèce s'exprime par deux fonctions de la 
seconde espèce de la manière suivante: *) 
(1— c?) F(c, p)=2E(c, 9) —2 (1 +c) E(c, 9) + 20 sin y, 
équation qui devient, quand on passe aux fonctions complètes, 
(1 — c?) Fi(c) —2 El(c) — (1-- c) Et(c') 
et d'où l'on déduit, au moyen de la relation précédente entre F'(c) et File‘). 
21) (1— c) Fi(c) -- (14- c) Et(c ) — 2 Ec). 
Ces formules suffiront pour effectuer les transformations quil nous reste 
à faire. 
12. En reprenant le sujet de notre investigation, nous allons nous occu- 
per, en premier lieu, de l'équation 19), qui nous donnera l'aire de la surface 
*) Voyez Legendre, traité des fonctions elliptiques, Tome I, page 84. 
