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de révolution. Son intégrale devient par une transformation simple 
" u ä 4e EU 
U- ra (1+e) | V uas bar; 
et si lon fait 
/ 
2 Ve y 
1+e 
elle prend la forme 
U — 4za? (1 +e) y I — e? cos?g . dg. 
Pour obtenir l'aire de l'onduloide ou du nodoide complet, il faut intégrer 
depuis q —0 jusquà q — z. Dans l'intégrale définie ainsi obtenue il est 
permis de remplacer cosp par sing, substitution qui aura pour effet d'inter- 
vertir l'ordre des élements, sans changer leur somme. On trouvera done pour 
la surface dont il s'agit, 
e 
U — 8za? (He) fe A/1— e? sin?p dg — 8za? (1 + e) El(e,). 
eo 
Il est facile de prouver que la quantité e, est toujours inférieure à l'unité, 
quelque soit l'excentricité e; cela résulte en effet de ce que la différence 
i mec 
1+e 
est essentiellement positive. On peut d'ailleurs regarder cette même quantité 
e, comme Jexcentrieite d'une ellipse dont les demi-axes sont 4(1 +e) et 
a(l—e), ou a(e+1) et a(e—1), suivant que e > ou «1, c’est-à-dire, 
suivant quil s'agit de londuloide ou du nodoide. Dans les deux cas e, est 
done lexeentrieité d'une ellipse ayant pour axes les diamètres du cercle de 
renflement et du cercle de gorge de la surface de révolution. Désignons par 
C, la circonférence de cette ellipse; nous aurons 
€, = 4a (1 + e) E((e,), 
et l'équation précédente prendra la forme simple 
| U=2xa €, 
Traduit en langage ordinaire, ce résultat renferme les deux théorèmes sui- 
vants : 
L'aire dun onduloïde complet équivaut à celle d'un cylindre dont la 
base est le cercle circonscrit à l'ellipse génératrice d'une meridienne, et 
dont la hauteur est la circonférence d'une ellipse ayant pour axes les dia- 
mètres du plus grand et du plus petit cercle parallele. 
L'aire d'un nodoïde complet équivaut à celle d'un cylindre droit à base 
circulaire dont le diamètre est Taxe transverse de l'hyperbole génératrice 
