Surfaces de révolution à courbure moyenne constante. 369 
d'une meridienne et dont la hauteur est la circonference d'une ellipse ayant 
pour axes les diamètres du plus grand et du plus petit cercle parallele. 
13. Il reste encore à évaluer le volume des figures de révolution dont 
il sagit. En intégrant l'équation 20) depuis 0 jusqu'à 27, on trouve pour 
le volume soit d'un catenoide, soit d'un nodoide complet 
^2zx | 02 2 SH O52 n9» 
3 e€? — e(3 + e*) eos 2e? cos? v ; 
y — dz za? + ( SF 5 E dv : 
em A/1—2ecos v + e? 
«Vv : v 
etos lon eft op — 
€ 
cette expression devient aprés quelques réductions faciles 
V= 
„Ama: (* te)? — 2e (1. 2) (3 + 8) cost Behewtg: 
x delito &/1— e? costg 
e, ayant la méme signification que dans le n° précédent. Observons main- 
tenant quil est évidemment permis de remplacer cos q par sing dans linté- 
grale définie, et rappelons-nous les formules suivantes (n° 11), dans lesquel- 
les F, et E, representent, pour abréger, les fonctions complétes de Legendre 
de première et de seconde espèce relativement au module e, : 
me. 
Mr an à 
e sin?g dp mE — E, em (1 + e)? (E. S E) 
Une ap t AEN, 1 
E sintp dp _ (2-pe3)F, — 2(14- e?) E, 
=P Ge ter, — aser ens, |. 
Moyennant ces valeurs, notre équation devient 
22) ye GEO [og ar]. 
Pour la simplifier davantage, il faut distinguer les deux cas oi e est 
inférieure ou supérieure à l'unité. Dans le premier cas, en prenant le signe 
supérieur, on aura le volume de l’onduloide complet; dans le second cas, on 
obtiendra le volume du nodoide complet, en prenant le signe inférieur. 
Supposons d'abord e — 1, et désignons par E la fonction complète de la 
seconde espèce relativement au module e. Les trois fonctions complètes E, 
E,. F, étant liées entre elles par la relation 21) 
23) CDs eyP- ru -e)yE—2HB; 
