Lösung einer geometrischen Aufgabe. 35 



Setzt man nun: x — rcosy und y =r rsiny, so wird diese Gleichung: 



^ siny ' - V -i 5- 1 - -X-,— ' woraus fol § 1 



/r si/f(C - y) •i— 2 arcosy + r 2 ; = < /r — 2 6/xvw (C — y) -+- r" } . a 2 sirfy, 

 welche Gleichung, geordnet nach den Potenzen von r, wird 



£a 2 sin- T V- tin* (C-y)}. r=> —îaifacos (/.'-J') s«'«2 y- is*V- (C-7) c<«;'}.r = a^ 2 {«;'«2 (C- J'J- s»'«-/}. 



Diese Gleichung aufgelöst giebt 



ab!acos{C —y)sin 2 y — bsiif (C — y) co.sy} 



*-• — i . 



{a siny + b sin (C- y)} {a siny - bsin {C - y)) — 



Vsirf (C — y) sin 2 y |« 2 cos 2 y — 2 ab eus (C — y) cosy + b 2 cos 2 (C — y)} 

 ! a siny + bsin ( C — y~)} [ a si/i) b sin (C — y) K 



ab\ cicos ( C- y) si/f y -b si/f ( 6-y) cosy ± sin ( C- y) siny\acosy- bcos(C-y)} > 



| a siny + b si/i [C — /) } ) a siny — bsin (C — y)\ 



Wir haben also 



absi/i C ab sin (2y — C) 



a siny -f bsin (C — y)' ' a siny - bsin (C — y) 



"Wenn wir den Nenner der ersten Auflösung wegschaffen, so ha- 

 ben wir, wie aus einer leicht zu entwerfenden Figur erhellt, auf der lin- 

 ken Seite den doppelten Flächeninhalt derjenigen zwei Dreiecke, deren 

 Y"\ inkelspitzen, in dem einen der gesuchte Punkt, B und C, in dem an- 

 deren der gesuchte Punkt, A und C sind, auf der rechten Seite dagegen 

 den doppelten Flächeninhalt des gegebeneu Dreiecks ABC. Die erste 

 Auflösung bestimmt also, dass der gesuchte Punkt auf der Seite c liegen 

 soll. Da wir aber jede beliebige Seite des gegebenen Dreiecks c nennen 

 können, so müssen wir schliessen, dass dieser Werth von r nicht gilt, 

 wenn die drei gegebenen Punkte ein Dreieck bilden, sondern nur, wenn 

 sie in einer geraden Linie liegen. Bezeichne denn C in dieser Voraus- 

 setzung den mittleren Punkt, wo also der Winkel C — 180° ist; dann 



