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Für C > 120° wird der Ausdruck von r mit oberem Zeichen negativ also 

 imaginär, während überall der Ausdruck von r mit unterem Zeichen den 

 gesuchten Punkt ausserhalb des Dreiecks versetzt. Für das gleichseitige 

 Dreieck gilt auch der Werth von r mit oberem Zeichen, also 



2 (AT- A3) 



— TS' 



A3(+A3— ATj 



Um den wahren Werth von r, wenn \ C = 30° ist, zu finden, müssen 

 also der Zähler und Nenner im Bezug auf C differentiirt werden, wo- 

 durch man bekommt r = cos C = ^ l^% = . 866. Der gesuchte Punkt 

 ist hier naturlich der Mittelpunkt des ein- und um-geschriebenen Kreises. 



Hieraus folgt also, dass r um so viel grösser wird, je mehr der 

 Winkel C von 120° an abnimmt. Für C = 1° finde ich /• = 0.9995, 

 woraus ich schliesse, dass, während der abnehmende Winkel C sich der 

 Grenze nähert, der Abstand r immer der Grenze 1 näher kommt, und 

 dass in einem beliebigen Dreiecke der fragliche Punkt am wenigsten vom 

 Punkte des grössten Winkels entfernt ist. 



Um meine Formeln practisch zu prüfen, wandte ich sie auf ein 

 rechtwinkeliges Dreieck an, wo die Seiten a = 2 und b = 1 den rechten 

 Winkel C umfassen. Erst suchte ich den W inkel y zwischen r und o, 

 Welchen ich = 50° 6.28 fand. Mit diesem Werthe berechnete ich /• nach 

 der den Winkel y enthaltenden Formel und fand r — 0.39694. Nach 

 der von ■/ unabhängigen Formel bekam ich dagegen 



2(— 7 + 8A-3) 

 {3+2 A3} A^ll + 6 n 



zwei negative und also imaginäre Werthe von /\ Dieses Ergebniss ist 

 mir wieder ein Räthsel, und ich muss also die Vorschrift geben r nach 

 den beiden Formeln zu berechnen, da bald die eine, bald die andere, 

 verkehrte Resultate giebt. — Aus den bekannten drei Theilen des gege- 

 benen Dreiecks fand ich nun c = As, A = 63° 26 . 10 und B = 26° 

 33.90. Ich werde den gesuchten Punkt mit N bezeichnen und AN=r' 

 BN '= /•" , den Winkel NAB~y setzen. Aus den bekannten a, r, y und 

 b, r, C-y berechnete ich /-" = 1.77179, CBN = 9° 53'. 86 und 



