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BE = a sin a, CF = b sin ß, BG = a sin (a + /?). 

 Donc 

 A ABD = !, ax sin a, A ADC = \ bx sin ß, A ABC = ^ ab sin (« + $, 

 et par conséquent 



^ «.v «n k + \ bx sin ß = \ ab sin (a + /Î), 

 d'où 



ob sin (a + ß, . > 



a .sz« « + 6 «Ära /3 



Soit maintenant BEC (Hg. 2) une courbe quelconque donnée par 



l'équation 



u-ft 



dans un système polaire dont le pôle est P, l'abscisse APB = / et l'or- 

 donnée PB = u> Désignons respectivement par h et kh les accroissements 

 arbitraires BPC et BPE de l'angle APB, k étant un coefficient quelcon- 

 que moindre que l'unité et indépendant de //, et joignons BC qui ren- 

 contre PE en D. La formule 1) nous donne sur-le-champ 

 p D = ./>./(/ + //) sin h 



fi sin kli -ff {t -f- h) sin [h — k h) 

 valeur qu'il s'agit de développer suivant les puissances de h. 

 'Supposons à cet effet, pour abréger, 



// = //, /(/ + h) = u„ \—k = x, ft. f{t + /i) sin h = m, 

 ft sin kh-\-f{t + h) sin (h — kh) = n, "1 = p, 



et désignons, en général, par c, c", . . les dérivées du premier, second, etc. 

 ordre d'une fonction quelconque de h représentée par c, ainsi que par (c), 

 ft'), (c), . . les valeurs respectives de ces fonctions pour h = o. Il en 



résultera 



m = uu l sin h, n ~ u sin kh -f- "i sin xh, 



//(' = u ( tii cos h -+- ui sin h), n = ku cos kh + xu v cos xh + uî sin xh, 



m=u {ui sin h+2uî cos h-u, sin h ), n" = «," sin xh + 2x uî eus vJi — vcu x sin xh 



— k'u sin kh, 

 m" = u (u{"sin h + 3 uî'cos h — iu^sin h — Ui cos h), 

 ri" = ui'siu yji + 3 xu^'cos xh — 3x 2 «,' sin xh — x 3 u 1 cos xh — k 3 u cos kh, 



et par suite 



