tSur la courbure des lignes planes. 



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(;w) = o, (n) = o, (m) = « 2 , (n) = u, (m") = 2uu, («") = 2x«, 

 (tri") = « (3m" — u), {ri") = Sxu' — (k 3 +x 3 )u, . . 

 où //,//, . ., qui expriment les valeurs des m/, «i", , . . pour h = o, ne sont 

 évidemment que les dérivées de u par rapport ht du premier, second, 

 etc. ordre. 



Donc 



^ / , _ fnm—_mn\ _ „ _ f BOT — mn \ _ (m "\ /"«V.».'^ _ ( CT ) /w^ (n ) 



'PJ—\ ^ y— ïï — V. 2nn J ~\lnJ \nJ\in) — 2{n) \nJ 2(n) * 



= M M. Yjj" = (1 K) W = KU , 



s "\ f n ('"»" — ■•»") — 2 n (""' — »»»A _ o _ f njntn" — mii") — Znjnm — nm) ^ 



(.p ) - \, p y - t» - ^ TiïTi >' 



(m"\ fm\rn"\ f n ' \f nm — mn \ _ {ni") fm\ (ri") {n)s nni —mri ^ 



-\WriJ~ \HJ\3ri) ~"wA » J / ~ 8(«) W/aM (»)V »* ' 

 = a "_ 4 „_ w# ! *»"-(*' + «')« _ ?JL2L. *»'=«"-^ «-k«"+J 3 (* 3 + x»)«-2Ax.Ç , 



t=*«' + £(F + * 3 — 1)m — 2 *x. £=*«" — *(1— *)«— 2jfe(l— *).£; 



d'où s'ensuit, par le théorème de Maclaurin, 

 p = PD = (p) + (p) h + i (p") A 2 + 9 A, 



= u + *«' . A + i (*«" — £ (1 — £) « — 2 * (1 — A) £). A 2 4- y«, 

 la fonction 2_ ayant la propriété de s'évanouir pour h — o. 



Or, en posant PE = q, nous aurons encore 



q-f[ t + kh), q =f.(t + M), k, q" = f" (t + kh). k*, . . 

 et par suite 



(q) =ft = u, (q) =ft. k = ku , (?") =//. ** = gft", - • ; 



d'où, par le théorème de Maclaurin, 

 q = PE = u -f" &/.A -f- I K-u".h z -f- t/;A, 



la fonction ^- prenant de même, pour A =,o, la valeur de zéro. 

 Donc 





