öoieiit i\ , r-i, ■■■ r„ les rayons vecteurs menés d'un point à (Vautres points 

 ou centres fixes A^, A-i,--- A,,, situés, comme on veut, dans l'espace; on 

 peut se demander, quelle doit être la position du jioint . pour qu'une fonc- 

 tion de ces rayons 



f{i\, r,, ... /•„) 



prenne une ^•aleur extrême, cést-à-dire qu'elle de\ienne maximum ou mini- 

 mum. 



Il convient de faire observer avant tout que la question ainsi posée n'est 

 autre chose qu'un problème de mécanique traduit en termes de g-éoniétrie. 

 Concevons, en effet, que le point soit attiré vers les centres Ai, Ai,--- A„ 

 par des forces représentées par les dérivées partielles 



(/f üf df^. 



dr dr dr,, 



si le point O vient à se déplacer suivant une direction quelconque , l'élément 

 du travail exécuté par l'ensemble de ces forces sera 



r dr, — '- dr„ - dr„ — — d/ 



dr^ ' dr.j, ^ dr„ 



et le travail total 



ou égal à l'accroissement correspondant de la fonction f, pris en signe con- 

 traire. Lorsque cette fonction est minimum, la différence z// est positive 

 pour tout déplacement très-petit du point 0; lorsqu'elle est maximum, Jf 

 est au contraire négative. Dans le premier cas le travail des forces est 

 donc toujours négatif, et le point mobile ne peut se déplacer sans qu'il y 

 ait une résistance à vaincre; dans le second cas le travail est toujoiu's 

 positif;, en sorte que le point a une tendance à se mouvoir dans nue di- 

 rection aussi bien que dans une autre, et que, une fois déplacé, il ne peut 

 revenir à sa première position sans éprouver une certaine résistance. Il en 

 résulte que les forces qui agissent sur le point mobile et qui sont représen- 

 tées par les dérivées partielles de la fonction /'. se font équilibre, lorsque 

 le point a une position telle que cette fonction f est maximum ou minimum. 



