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L'équilibre est stable dans le cas du minimum; dans celui du maximum il 

 est instable. 



Pour revenir à notre problème, imaginons-nous que le point mobile se 

 déplace à partir de suivant une direction arbitraire d'iuie quantité finie 

 mais très-petite x; la fonction / prendra un accroissement /If, qu'on peut 

 exprimer par la série 



Pour plus de simplicité, il sera convenu de regarder la distance x comme 

 positive et de définir sa direction par les angles «i , a^, ■ ■ ■ «„ qu'elle fait 

 respectivement avec les rayons j\ , r-i, ■ ■ ■ ?"„ menés du point aux centres 

 fixes. Pour que la fonction /" prenne au point une valeur extrême, il faut 

 et il suffit que la différence Jf ne change pas de signe quand on fait tour- 

 ner la droite x tout autour du point 0. Ce principe général renferme en 

 particulier les conditions suivantes: 



l:o La dérivée première ^, tant qu'elle n'est pas nulle, doit conserver 



le même signe tout autour du point 0. 



2:0 Si la dérivée du premier ordre est constamment nulle, la dérivée 

 seconde ne doit pas changer de signe, 



3:0 Si la dérivée première s'évanouit seulement pour certaines directions 

 du déplacement x, sans changer de signe, il faut que la dérivée seconde 

 prenne pour ces mêmes directions le signe dont la dérivée première est af- 

 fectée en général. 



4:0 II peut arriver que les deux dérivées disparaissent en même temps. 

 En ce cas l'existence d'un maximum ou minimum dépend du signe de la 

 dérivée du troisième ordre, et ainsi de suite. 



Toute cette analyse suppose du reste que les dérivées dont il s'agit, 

 ne deviennent pas infinies au point 0. 



Les deux dérivées qui entrent principalement dans cette discussion, peu- 

 vent s'exprimer de la manière suivante 



dx dri dx dr^ dx rfr„ dx ' 



dx^ ~ dr^"^ dx"^ "^ dr.^'^ fte^ "i ^ ^^^ ^^^ + ^^^ ^^^ -\ 



I 2 ( ^f ^-± — * + ^^- ^1 ^3 , (ly ^\ dn 



Xdr^^dr^ dx dx d?\dr3 dx dx dr^dr^ dx dx 



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