Sur les maxima et minima d'une fonction etc. 1!I3 



Désignons par r un des rayons r, , r^, ■■■ r„ indistinctinient , par n 

 l'angle qu'il fait avec la droite x, et soit u la valeur que ce même rayon 

 prend à la suite d'un déplacement du point le long de la droite x: nous 

 aurons 



(0) //^ = r'^ -\- X- — 2rx cos a , 



équation dans laquelle x et u sont les seules variables. En la différentiant 

 sous ce point de vue, on obtient successivement 



du 

 u -— = X — /• cos ß . 

 (Lv 



(Pu du"^ _ 



du d^u dr (Pr 



Faisant ensuite .r = , ce qui réduit n, ^^ , ^ ^ r, ^^ » ^^ » on trouve 



dr 



-^r ^^ — COS a , 

 dx 



r - ^ = 1 — cos-'« = siii'^ß . 



et les expressions précédentes deviennent 



(A, Z= --%-'■'■ 



(B) f ( = ^ f f { cos2« + -f sin--^« W 2 2; -ßC, cos « cos « . 



^ ' dx^ \dr^ r dr J drdr 



la somme H étant relative à tous les rayons r,, 7\,--- r„, excepté dans le 

 dernier terme de la seconde formule, où elle doit s'étendre à toutes les com- 

 binaisons de deux rayons differens, telles que r(i\, r^Vi, r^r^, etc. 



La discussion de ces formules se fait de différentes manières, suivant 

 que le point coïncide, ou non, avec un des centimes; c'est pourquoi nous 

 allons traiter séparément ces deux cas. 



Supposons d'abord que le point soit distinct de tous les points tixes. 

 Si l'on donne à la droite x une direction opposée à celle qu'elle avait d'a- 

 bord, tous les angles « augmenteront simultanément de ISO" et l'expression 

 (A) changera de signe toutes les fois qu'elle ne sera pas nulle. Par conséquent 

 il ne peut y avoir ni maximum, ni minimum, à moins que cette expression 



