Sur les maxima et minima d'une fonction etc. 11)5 



et qui ne doit pas changer de signe, si le maximum ou le minimum a réel- 

 lement lieu. 



Pour appliquer cette théorie à quelques exemples, proposons-nous d'abord 

 de déterminer le point de manière que la somme des w?''^""'' puissances 

 de ses distances à « points donnés dans l'espace soit un minimum, ou bien, 

 ce qui revient au même, de trouver la position d'équilibre d'un point qui est 

 attiré vers n centres fixes par des forces proportionnelles aux puissances 

 m — 1 des distances. 



Il s'agit de trouver une valeur extrême de la fonction /'=;•,'" -f- ?V" +■■ ■ 

 + r„"'. L'équation (1), qui détermine la position du point cherché toutes les 

 fois qu'il ne se confond pas avec un des centres, se réduit à 



(2) r,"'~' cos «1 + r.,"'~'' cos «., -| = , 



condition qui doit avoir lieu pour toute direction de la droite x. Cette con- 

 dition étant remplie, on aura à examiner la dérivée seconde (B), qui prend 



la forme 



(IH 



—2 = m Er'"-''- (sin"^« -f {m — 1 ) cos-«) 



= m'^ Er'"—'^ cos^K — m Er'''^"^ cos 2« . 



Pour m^\ , cette dérivée est toujours positive et le minimum a réellement lieu. 

 Pour m < 1 , on ne peut plus assurer d'une manière générale que la dérivée 

 seconde ne change pas de signe. Mais jamais elle ne saurait être constam- 

 ment négative; il est donc certain que la somme r/" -f- 'V" + • • • ii'^ P^s de 

 maximum en dehors des points fixes. 



Il reste à considérer le cas où le point coïncide avec un des centres 

 Aq, et d'examiner quelles sont alors les conditions du maximum ou du mini- 

 mum de la somme /=: ro'" + r,'" -j- r^" + • • . . Le rayon /•„ étant nul , la sé- 

 rie de Taylor, que nous avions employée pour le développement de J/, 

 devient illusoire toutes les fois que l'exposant m est négatif ou fractionnaire. 

 Mais on peut détourner cet inconvénient en séparant le premier terme Ko" . 

 qui se réduit simplement à .r"' , de la somme des autres , dont l'accroissement 



s'obtient toujours par le théorème de Taylor. En désignant par ( ^/^. ), {(/^.2 



les dérivées successives de cette dernière somme, on trouve pour toute va- 

 leur positive de m 



et l'on aura comme précédemment 



