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(df 



— —/«[ri™-* COS«, -)-'V"~*cosk2 +■•■]• 



Pour des valeiu's de m comprises entre et 1, la diiférence Af ayant 

 le signe de .r'" reste toujours positive, ce qui est le caractère essentiel du 

 minimum. Pour /w > 1 le signe de df dépend du terme en x et il est 



susceptible de varier, à moins qu'il n'arrive par liazard que le coefficient (^ 



disparaisse identiquement, c'est-k-dire que l'équation (2) soit satisfaite au 

 point Au. En ce cas exceptionnel le minimum aurait également lieu, puis- 

 que Jf serait positive. Enfin , lorsque »^ = 1 , z//" a le même signe que 

 l'expression 



(3) ^ + ( y . ) = 1 — cos «i — cos «2 — cos «3 — • • • 



Celle-ci ne peut évidemment être ni nulle ni négative pour toute direction de 

 x; mais il peut arriver qu'elle soit constamment positive, et ce serait là en- 

 core un cas de minimum. 



Ainsi le minimum seul peut se rencontrer, lorsque l'exposant m est posi- 

 tif. Quand il est négatif, on voit immédiatement que la somme /devient in- 

 finie en chacun des points fixes et que ces valeurs particulières sont autant 

 de maxima. 



Supposons maintenant que les n centres soit contenus dans un plan et 

 disposés de manière à former les sommets d'un polygone régulier. Exami- 

 nons si la fonction ri'" +''2'" H devient minimum, ou non, lorsque le point 



mobile est au centre du polygone. 



Cette hypothèse donne ri^rj^- ••=r„ et 



«1 = 0, «2=0 + ^, «3 = ö+2p, •■•, «„ = e + («-i)p, 



étant un angle variable avec la dh-ection de la droite x, et |3 un angle con- 



'1% , 



stant = Yi • En désignant par k un nombre entier quelconque et par / l'unité 



imaginaire, on a en général 



£ et«' ^ c'-U' (1 + e^ß' + e'^ß' +■■■ + e^""'^ ^'^' ) 



1 — e'^ß' 

 Dans cette dernière fraction le numérateur est toujours nul, à cause de nß 

 = 2n, mais le dénominateur s'évanouit seulement lorsque kß est un multiple 

 de 2n, c'est-à-dire pour k = 0, k=^n, k = 2n, etc. Toutes les fois que le 

 nombre k ne sera pas un multiple de n, on aura donc nécessairement 

 G = 2:^''' - Ilcoäka + iHäinka, 



