Sur les maxima et minima d'une fonction etc. 197 



d'où 



Z cos ka. = , 2/ sin /<:« = O . 



Si k est au contraire un multiple de 7i, kß sera un multiple de 2ff, et l'on 

 trouvera immédiatement 



2 cos ka = n cos ko , H sin ka = n sin ko. 



Dans le cas actuel la dérivée du premier ordre (A) disparaît, à cause de 

 y; cos « = , et celle du deuxième ordre (B) devient 

 ^»,-2 j-^^2 jp cos^« — mû cos 2«] . 



Pour ;? > 2 , on a 2/ cos 2« = et la dérivée seconde , qui se réduit à 



otV"~^2?cosV, 



est essentiellement positive. Dans tout polygone régulier le centre corres- 

 pond donc réellement à un minimum de la somme r/" + ?V" -| , et cela 



quel que soit l'exposant w?. 



Pour ?i = 2, la somme 2' cos 2k n'est plus nulle mais égale à 2 cos 2e; 

 de plus on a alors 



Z' cos''« = cos'ö + cos^ (e + ff) = 2 cos^o 



et la dérivée seconde devient 



m— 2 

 2r"'"^ [/«^cos^e — ?n cos 2e] = ni'^r'"'- ( 1 + ^^^ cos 2e). 



Elle est toujours positive , si w« > 1 , mais varial)le de signe , si »« < 1 . 

 Pour que le milieu entre deux centres fixes corresponde au minimum de la 

 somme 7\"'-\-?\"', il faut donc que l'exposant ffi soit plus grand que l'unité. 

 Pour ?rt = 1 cette somme est constante le long de la droite qui joint les 

 deux centres, et il n'existe pas de minimum, à proprement parler, ou, si l'on 

 veut, il en existe une infinité, à savoir dans tous les points de cette droite. 

 Dans les trois problèmes suivants nous allons nous occuper d'autres cas 

 particuliers de la fonction ri"'4-V+--- 



I. Déterminer le point de manière que la somme des distances de 

 ce point ai/x sommets d'un triangle donné ABC soit minimum. 



La position du point sera en général déterminée par la condition (2), 

 qui se réduit actuellement à 



cos «1 + cos «2 4- cos «3 = 0, 

 «1, «2, «3 étant les angles que les rayons OA. OB. OC! font avec la direction 



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