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arbitraire .r. Eu prenant tour à tour pour cette direction chacun des trois 

 rayons et en appelant ce, ß, y les angles que ces rayons forment entre eux, 

 on en déduit les trois équations 



1 + cos /3 + cos ;' = , 

 1 + cos ß + cos y = o , 

 1 + cos « + cos ß = 0, 



qui donnent cos « = cos /3 = cos ;-, d'où k = ß = y= \20'\ Ainsi les trois 

 rayons doivent former entre eux des angles égaux. 

 Cette propriété donne lieu à une construction 

 très-simple. I*rolongez la droite AO jusqu'à ce 

 qu'elle rencontre en I) la circonférence de cercle 

 menée par les points OBC. Dans le triangle 

 B CD l'angle B sera égal à COD=z60^; on aura 

 de même C =60** et D = 6(y\ en sorte que le 

 triangle B CD sera équilatéral. On en conclut que le point est l'inter- 

 section de trois droites dont chacune est menée d'un sommet du triangle ABC 

 au sommet d'un triangle équilatéral construit extérieurement sur le côté op- 

 posé. A l'aide de cette même construction, déjà indiquée par Simpson, on 

 obtient facilement la moindre valeur de la somme des distances. D'après 

 une propriété connue des quadrilatères inscrits dans des cercles (théorème de 

 Ptolémée) on a 



OD.BC=OB. CD + OC. BD. 



Or, à cause de BC= CD = BD, cette équation se réduit à OD = 0B-\- OC] 

 on a donc AD = OA + OB -{-OC et l'on trouve pour le carré de cette somme 

 l'une des trois expressions identiques 



b'^ + c'^-2bccoa{A-\-(50''), 



cfi + r^ - 'lac cos {B + 60") , 



rt2 + Z*2_2ö/,cos(6'+60"), 

 dans lesquelles A, B, C sont les angles et a, b, r les côtés du triangle 

 donné. 



Lorsque celui-ci a un angle égal à 120*^', le point coïncide évi- 

 demment avec le sommet de cet angle. Si l'un des angles est > 120", il 

 n'existe plus aucun point qui satisfasse à la condition (2). Mais on peut dé- 

 montrer que le minimum correspond encore dans ce cas au sommet de l'angle 

 obtus. Supposons, en effet, que le point mobile se confonde avec le som- 

 met C, l'angle C étant >120", et désignons 2)ar «, /3 les angles que les 



