Sur les mn.rlma et minima d'une fonction etc. 199 



côtés CA, CB font avec la droite arbitraire x. La dérivée première (3) de- 

 vient alors 



1 — cos « — cos p = 1 — 2 cos „cos -~^ , 



et comme la différence a — ß = aiC est en valeur absolue comprise entre 



a — 3 

 120'' et ISO", en sorte que cos ^ '^5' ^^^^^ dérivée est évidemment po- 

 sitive, quelle que soit la direction de x. L'existence du minimum est donc 

 bien prouvée. 



Il en résulte en particulier que si les trois centres sont en ligne droite, 

 le point du minimum coïncide avec le moyen d'entre eux. 



IL Déterminer nn point de manière (pie la somme des distances de 

 ce point aux quatre sommets dun tétraèdre donné ABCD soit minimum. 



Désignons respectivement par «, /3, y, a', (î', / les angles BOC , COA, 

 AOB, BOA, BOB, BOC, que les rayons menés du point aux sommets 

 du tétraèdre forment entre eux. Si l'on fait coïncider successivement la droite 

 X avec chacun de ces rayons, la condition générale (1) donne les quatre 

 équations 



1 + cos «' + cos ß + cos 7=0, 



1 + cos a + cos ß' + cos 7=0, 



1 + cos a + cos ß + cos / =■ , 



1 + cos «'+ cos /3'+ cos / = . 



En comparant la différence de deux équations à celle des deux autres, 

 combinées de différentes manières, on en déduit cos « = cos«', cos |3 = cos (3', 

 cos 7 = cos/, ou bien 



« = «', ß — ß', y — y\ 



ce qui signifie que l'angle compris entre deux rayons quelconques doit être 

 égal à celui compris entre les deux autres. 



On peut considérer le point comme le sommet de quatre pyramides 

 triangulaires contruites sur les faces du tétraèdre, auxquelles appartiennent 

 quatre angles solides placés autour du point 0. Si l'on compare entre eux 

 deux quelconques de ces angles solides, on verra que les angles plans dont 

 ils se composent, sont égaux deux à deux dans le même ordre, et Ton en 

 conclura que les angles solides sont eux-mêmes égaux dans toutes leurs par- 

 ties de manière à pouvoir se couvrir Tun Tautre, Ainsi le point doit avoir 

 nue position telle que les quatre angles trièdres formes par les rayons qui 



