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le joignent aux sommets du tétraèdre soient tous égaux, cliacun d'eux me- 

 surant le quart de l'espace entier. 



Lorsque tous les angles solides du tétraèdre sont plus petits que le quart 

 de l'espace, il existe toujours dans l'intérieur du tétraèdre un point qui satis- 

 fait k la condition précédente. Ce point coïncide avec un des sommets, lors- 

 que l'angle correspondant mesure exactement le quart de l'espace. Mais 

 si le tétraèdre a un angle solide encore plus grand, il n'existe plus aucun 

 point qui remplisse une telle condition. Cependant le minimum correspond 

 encore au sommet de cet angle, ce qu'on peut démontrer de la manière sui- 

 vante. 



Soit D le sommet de l'angle solide dont il s'agit et qui fait partie du 

 tétraèdre donné JBCD: cet angle découpera sur la surface d'une sphère, 

 décrite autour du point D comme centre, un triangle dont l'excès sphérique 

 E sera supérieur à 1S0"\ Or, en appelant a, h, c les côtés ce triangle, 

 on a généralement (voir la trignométrie de Serret, p. 120) 



1 + cos a -f cos 6 -f- cos c 



cos 1 E = 



4 cos ^ a cos \ h cos \ c 



Dans notre hypothèse, le premier membre de cette formule est négatif; donc 

 il en est de même de la somme 1 + cos a + cos h -+- cos c. 



On peut présenter ce résultat sous une forme différente. Si l'on prend 

 sur chacune des arêtes DA. DB, DC, h, partir du point D, une longueur 

 égale à l'unité, et que l'on construise un parallélipipède sur les trois droi- 

 tes ainsi déterminées , la diagonale d de ce parallélipipède s'obtiendra par la 

 formule 



d'- = 1 -f 2 (1 + cos a -f cos b + cos c). 



La somme 1 -f cos n -+- cos Z* + cos c étant négative , on aura d'^ < 1 et par 

 suite la diagonale d sera elle-même plus petite que l'unité. 



Cela posé, nous considérons un déplacement du point mobile à par- 

 tir du sommet D suivant une droite x faisant respectivement les angles «, 

 |3, j' avec les arêtes DA, DB, DC. A ce déplacement correspond une dé- 

 rivée de la fonction /"— " ro + r, -f r^H- rj qui s'obtient par la formule (3) et 

 dont la valeur est 



1 — cos a — cos (3 — cos f . 



Or. la somme cos a + cos (3 -f- cos y exprime évidemment la projection de la 

 diagonale d sur la droite x, laquelle s'obtient en projetant les trois arêtes du 



