Sur les maxima et minima d'une fonction etc. 201 



parallélipipède. Cette projection étant, ainsi que la (lia<;-onalc elle-nu"nie. 

 plus petite que l'unité, il s'ensuit que l'expression pn'cc'dente reste toujours 

 positive, ce qui prouve l'existence du minimum. 



Considérons enfin le cas oh les quatre point donnes A, B, C, D se 

 trouvent dans un plan. S'ils forment un quadritère convexe, le point pour 

 lequel la somme des distances est minimum, sera l'intersection des deux dia- 

 gonales du quadrilatère. Älais si les points donnés ont une position telle 

 que l'un d'eux I) se trouve dans l'intérieur du triangle ABC formé par les 

 trois autres, le minimum aura lieu au point D. Tout cela se déduit simple- 

 ment de ce que nous venons de démontrer en général pour le tétraèdre. 



m. La somme des carrés des distances dun point à n centres fixes 

 doit être minimum. 



L'équation générale de condition (1) devient 



>^r cos« = 0. 



Elle exprime que la somme des projections des distances sur une droite quel- 

 conque est nulle, d'oà il résulte évidemment que le point cherché est le cen- 

 tre de gravité d'un système de masses égales placées aux centres fixes. 



Pour calculer la valeur minima de la somme ry-\-r^^-\ hr/, nous 



prenons d'abord le rayon ri pour axe de projection et nous trou\ous 



r, + r-i cos 12 + ?•;. cos i^ H h r„ cos,,, = , 



en désignant généralement par cos,/j le cosinus de l'angle compris entre les 

 rayons r, et ;•/,. En adoptant de même la notation c,^ pour désigner le carré 

 de la distance entre les point A,, A^, on a les équations 



Cn = r,^ + r;- — 2r,\ 

 c VI ~ f'i' + r/ — 2/-ir, cos ,, , 

 Cii = ri" + /:,'' - 2;v'3C0öi3, 

 etc. 



Quand on les ajoute, les termes négatifs se détruisent et il vient 



Cn + c\, H \- r,„ = nr;- + ^r\ 



On trouverait de même 



C-n + <"2'2 H (- ^2» = '''V' + -^/'^ 



et ainsi de suite. En ajoutant toutes les équations ainsi formées et dé- 

 signant par Hc la somme des carrés des di?>tances mutuelles de tous le 

 centres A,, A,, •■• A„, on obtient définitivement 



