vJn sait qu'en diiférentiant successivement une fonction par rapport à plu- 

 sieurs variables, l'ordre dans lequel on eiïectue toutes ces opérations, n'a au- 

 cune influence sur le résultat. Malgré l'importance de cette proposition fon- 

 damentale, quelques auteurs ont cru pouvoir l'établir par des considérations 

 qui n'ont pas toute la. rigueur, ni toute la généralité désirable. Nous tâche- 

 rons d'abord de justifier cette assertion et nous dirons ensuite notre opinion 

 sur la manière qui nous semble la plus juste et la plus naturelle de démon- 

 trer la proposition dont il s'agit. 



Ce théorème se présenta naturellement aux géomètres, dès qu'ils com- 

 mencèrent à étendre les procédés du calcul différentiel aux fonctions de plu- 

 sieurs variables. Aussi Clairaut et Eider y on été conduits presqu'en même 

 temps, en cherchant les conditions d'intégrabilité d'une expression différentielle 

 à deux variables. Il paraît impossible de décider à qui des deux appartient 

 la priorité de cette découverte, qu'ils publièrent tous les deux la même année 

 1740 *). Nous allons citer rapidement leurs démonstrations. 



Clairaut ^) considère une expression différentielle Mdx -\- Ndy , dans la- 

 quelle M et iV^ sont des fonctions de x et y. Si cette expression est la dif- 

 férentielle exacte d'une fonction z, on doit avoir 



dx dy 



et 



z =j'iVdx + (piy). 



En différentiant cette équation par rapport à 2/, on trouve 



= f^dœ+cp'(y) = N 



dz_ ÇdM 



dy ~J dy 



et en différentiant de nouveau par rapport à x 



m _ dN 

 dy ~ dx 

 ce qu'il fallait démontrer. 



ï) Suivant Clairaut, l'honneur de cette découverte serait aussi partagé par Fontaine. 

 ^) Su)- l'intégration ou la construction des équations différentielles du premier ordre, 

 dans les Mémoires de l'Académie des sciences, Paris 1740. 



