207 L. LiNDELÜF. 



Ce l'aisonnement a l'inconvéïùent d'être fondé sur une proposition plus 

 compliquée que celle qu'il s'agit de démontrer, puisqu'il suppose qu'on sache 

 dififérentier des intégrales renfermant plusieurs variables '). 



La démonstration donnée par Euler -) i)eut se résumer de la manière 

 suivante, à cela près qu'il emploie d'autres notations. Soit z une fonction 

 de X et y; si l'on substitue x-\-dx h x, elle deviendra 



z+^ dx. 

 dx 



Substituant dans cette nouvelle expression y-Vd]) à y. on lui fera prendre 

 la valeur 



z-\- :r dx -\- - dy -\- - - dxdy. 

 ^ dx ^ dij ^ dxdy " « 



En faisant les mêmes substitutions dans l'ordre inverse, on trouverait 



r + ,' (/a; -f -^ dy + - -^ dxdy. 

 ^ dx ^ dy ^ ^ dydx " 



Ces résultats étant nécessairement identiques, puisque l'ordre des substitutions 

 est inditférent, on doit avoir 



dh _ d-z 



dxdy " dydx 



A peine est-il nécessaire de faire remarquer qu'une pareille démonstration , 

 dans laquelle on confond des différentielles avec des différences finies, trop 

 souvent employée par les premiers cultivateurs de l'analyse infinitésimale, ne 

 saurait être admise aujourd'hui. Cependant l'idée des substitutions successi- 

 ves, qui lui sert de fondement, a été conservée par les auteurs modernes et 

 mise en pratique de différentes manières. 



Quelques-uns, en suivant l'exemple de Lagrange ^) et de Lacroix^), com- 

 mencent par développer f(x-\-h, y -{- k) par le théorème de Taylor en sé- 

 rie ordonnée suivant les puissances et produits de h et k. Ce développe- 



1) Dans le mémoire de Clainiut la règle de différeiitier sous le signe j' est attribuée 

 à Nicolas BernoulU. 



'^) De infinilis curins ejusdcm generis. Comment, academise Petrop. 1740. 



^) Théorie des fonctions analytiques, nouvelle édition, Paris 1813; p. 127. 



*) Traité du calcul diff. et du calcul int., seconde éd. Paris 1810, Tome I, p. 171. 



