Iiem(ir(2nes sur le théorème concernant l'ordre des différentiations. 208 



ment peut se faire de deux manières difterentes suivant Tordre dans lequel 

 on donne k x et y leurs accroissements respectift h et k. En rapprochant 

 l'une de l'autre les deux séries ainsi obtenues et qui doivent être identiques, 

 on est conduit au théorème qui nous occupe. 



A cela on pourrait objecter 1 :o qu'il n'est pas naturel d'emi)loyer des sé- 

 ries pours démontrer un principe aussi élémentaire, et 2:o qu'une pareille dé- 

 monstration n'est pas générale , puisqu'elle ne comprend point le cas o\\ le 

 développement de Taylor est en défaut. 



La forme de démonstration employée par Caiichy et par Mo'ujno •) re- 

 vient au fond à celle qui précède; mais elle est plus rigoureuse, parce qu'on 

 y tient compte du reste de la série de Taylor. 



Nous arrivons maintenant à l'objet principal de nos remarques, la dé- 

 monstration donnée par M. Schloemilch dans un ouvrage récemment publié ^). 

 Partant de l'équation connue 



(1) Ax±l,y )-/W ^/fa^eA, y) 



et observant que la dérivée dans le second membre est prise en regardant 

 y comme constant, l'auteur en infère que e est aussi indépendant de y. Or 

 cette conclusion^ sur laquelle toute la démonstration est essentiellement fon- 

 dée, n'est pas légitime. Pour le montrer bien clairement, considérons une 

 courbe plane représentée par l'équation y=f{x) et supposons que cette équa- 

 tion renferme un paramètre indéterminé a. Nous aurons 



(2) f^^^±^pi^=n.^-on) 



et X _|- Qh sera l'abscisse du point de la courbe où la tangente est parallèle 

 à la corde menée entre les points qui correspondent aux abscisses x et x + h. 

 Si l'on fait varier le paramètre a, tandisque les abscisses x et x-\-h con- 

 servent des valeurs fixes, on aura une infinité de courbes menées entre deux 

 ordonnées invariables. A chacune de ces courbes on pourra mener une tan- 

 gente parallèle à la corde qui lui appartient, et l'on aura ainsi une infinité 

 de points de contact, qui ne sont pas généralement situés sur une même or- 

 donnée, mais correspondent à différentes abscisses x-\-Qh et par conséquent 



') Leçons de calcul diff. et de calcul lut., Paris 1840; Tome I, p. 119, seconde dé- 

 monstration. 



-) Compendium der höheren Analysis, 2:te Aufl., Braunsclnveig 1862, p. 70. 



