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à différentes valeurs de e. Supposons, par exemple, que la courbe soit un 

 cercle représenté par l'équation .r-+y^ = ö'' et que les abscisses invariables 

 des deux extrémités de l'arc soient x=-0 et x = /i. En appelant v l'angle 

 que cet arc soutend au centre du cercle et e/i l'abscisse du point où la tan- 

 gente est parallèlle à la corde, on trouve sans peine 



/i^asinv et Oh ~ asin-. 



d'où 



2 cos ■ 



Lorsque le rayon du cercle augmente, l'abscisse /i restant invariable, l'angle 

 V diminue et par conséquent e diminue aussi. Donc e est en général une 

 fonction de a. 



Supposer que e soit indépendant de a, c'est imposer une certaine restric- 

 tion à la fonction /(x). On peut même assigner la forme qu'elle doit avoir 

 pour qu'une telle supposition soit vraie. En développant les deux membres de 

 l'équation (2) et supprimant le terme cummuu f{oc), on trouve 



è /" (a-) + -^\ f" c^-) + • • • = e/" (.T) + ^J'V'" (.^) + • • • 



De là on pourrait tirer le développement de e suivant les puissances de h. 

 Mais il suffit d'observer que la valeur de. e ainsi obtenue ne saurait être in- 

 dépendant du paramètre a, qui entre dans les dérivées f"{x), f"'{x), •■■, que 

 si les rapports de ces dérivées le sont également. Ainsi il faut en particu- 

 lier que le quotient 



r\x) 



ne soit pas fonction de a, et l'on en déduit, en intégrant par rapport à x, 

 que la dérivée seconde doit avoir la forme 



f"{x) = C(p'{x), 



(f" étant une fonction de x seul et C une constante arbitraire, qui peut va- 

 rier avec le paramètre a. Réciproquement, cette forme satisfait à toutes les 

 conditions exigées, puisque les dérivées successives f'i^)' /'"(-^)' "■ ^^'''^- 

 nues C(f"{x) , C(p"'{x) , •■■ ne contiendront le paramètre a qu'autant qu'il en- 

 trera dans le facteur commun C. 



