Remarques sur le théorème concernant l'ordre des diférentiations. 210 



En intégrant deux fois de suite l'équation qui précède, on arrive à un 

 résultat de la forme 



oîi <]p(.r) est une fonction de la seule variable x et A, B . C des constantes 

 qui peuvent varier avec le paramètre a. 



Telle est la forme la plus générale de la fonction f{x) qui puisse con- 

 venir à, l'hypothèse que e soit indépendant de a dans l'équation (2). En con- 

 sidérant la question sous un point de vue géométrique et posant 



y - (p{x) , 



r = A + ßx+Ct/, 



on peut regarder y et Y comme les ordonnées de deux courbes , entre lesquel- 

 les il existe une certaine relation. Si de tous les points de la première 

 courbe on mène des droites parallèles à une direction quelconque jusqu'à la 

 rencontre d'une droite arbitraire A~{-Bx-\- C>/~() et qu'on les substitue aux 

 ordonnées y^ on aura les ordonnées correspondantes Y de la seconde courbe. 

 Les courbes ainsi transformées sont les seules qui jouissent de la propriété 

 que les tangentes parallèles aux cordes comprises entre deux ordonnées in- 

 variables ont leurs points de contact situés sur la même ordonnée. 



Ce que nous venons de prouver à l'égard de l'équation (2), s'applique 

 immédiatement à l'équation (1) et montre que dans celle-ci la valeur de 6 dé- 

 pend nécessairement de celle de y, à moins que la fonction f{x ,y) ne soit 

 composée de la manière suivante 



f(x,y) = r-\-l\x + 1\ (p(x)'. 



Ainsi l'hypothèse admise par M. Schloemilch exclut d'abord toute fonction 

 qui n'est pas comprise dans cette forme. f]lle est encore plus restreinte par 

 une supposition analogue relative à la seconde variable , ensorte que le théo- 

 rème, qu'il fallait établir en général, ne reste démontré que pour des fonc- 

 tions de cette forme très-particulière 



f(x, 1/) = A + Dxy + ç) (X-) • t^ (y ) , 



où A et ß sont des constantes. 



Dans le grand et bel ouvrage qu'il vient de publier, ') M. Bertrand em- 

 ploie une démonstration fondée sur le théorème suivant: 



V) Traité de calcul diftërentiel et de calcul intégral, Paris ISfU, p. 156. 



