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Si une fonction i)(x,a) est infiniment petite, quel que soit .r. pour 



une valeur infiniment petite de a, il en est de même de sa dérivée -r-. ■ 



Cette proposition, bien qu'elle soit vraie en général, souifre pourtant des 

 exceptions. Considérons, par exemple, une cycloïde engendrée par un cercle 

 dont le rayon est a, roulant sur l'axe des x. Si le rayon a tend vers zéro, 

 l'ordonnée y devient infiniment petite pom- toute valeur de x, et pourtant sa 

 dérivée, qui dépend de l'inclinaison de la tangente, peut avoir toutes les va- 

 leurs depuis — 00 jusqu'à + c» . La limite vers laquelle tend la dérivée pour 

 öz=0, n'est donc pas nulle, mais absolument indéterminée. La même chose 

 a lieu pour la sinusoïde représentée par l'équation 



u = a sin - , 

 " a 



la dérivée y^ pouvant avoir pour a= une valeur quelconque entre — 1 et -|- 1 . 



Il y a un autre principe intimement lié à la nature de la question et 

 dont M. Bertrand, sans le dire expressément, fait usage aussi bien que tous 

 les autres. C'est que la limite vers laquelle converge une fonction de deux 

 variables, lorsque celles-ci s'évanouissent ou s'approchent de certaines va- 

 leurs déterminées, est indépendante de la liaison établie entre les variables. 

 Ceci est en effet le caractère essentiel d'une fonction monodrorae et conti- 

 nue. Mais en admettant ce principe, toute autre hypothèse devient super- 

 flue et notre théorème en résulte presque immédiament. 



Soit, en effet, z=f{x,i/) l'équation d'une surface continue aux environs 

 d'un point P, que l'on considère en particulier et dont les coordonnées sont 

 x, y, z; donnons à x et y des accroissements h, k ^i considérons l'expres- 

 sion 



f{x + h,y + k)-f{x^h,y) -nx,y + k)+nx,y ) 

 h k ' 



dans laquelle nous regardons h et k comme variables. Celle-ci est évidemment 

 continue pour de petites valeurs de h et k différentes de zéro et il est facile 

 de voir que la continuité ne sera pas interrompue, lorsque l'une ou l'autre de 



. , dz dz . 



ces variables passe par zéro, pourvu que les dérivées partielles ^, ^^ soient 



aussi continues aux environs du point P. Dans cette hypothèse l'expression 

 précédente sera donc monodrome et continue tout autour du point P, de sorte 

 qu'en faisant h et k décroître jusqu'à zéro, elle tendra vers une limite qui 

 sera indépendante de la liaison supposée entre ces variables. Or si l'on fait 



