Remarques sur le thiîorème concernant l'ordre des dijférentiations. 213 



d'abord h = et qu'on appelle ^,{x,y) la dérivée partielle de fix, y) prise 

 par rapport à x, cette expression se réduit à 



(p{x,tj +k) — (p(x,y) 



k 



faisant ensuite ^ = 0, elle devient 



d (p(x,y) _ d-z 

 dy " dxdij 



Les mêmes substitutions faites dans Tordre inverse donneraient pour résul- 

 tat irj^- Ou aura donc 



d-z _ dH 

 dxdy ~~ dydx 



Ce raisonnement cesse d'être applicable, lorsque les dérivées partiel- 

 les du premier ordre sont discontinues au voisinage du point P, ce qui a 

 lieu: 1:0 si P est un point saillant de la surface z=f{x,y), 2:o si une ou 

 plusieurs arêtes de rebroussement passent par ce point. En ces cas excep- 

 tionnels il suffit de considérer une portion de surface environnant le point 

 /*, ou comprise entre deux arêtes et ne comprenant pas d'autre point siug'U- 



lier. L'identité des dérivées ^^^^^- et ^~^ reste démontrée pour tous les points 



d'une telle portion de surface; par conséquent elle subsistera aussi au point 

 P: seiüement les deux dérivées y prendront en général plusieurs valeurs, 

 correspondant aux différents chemins suivant lesquels on s'en approchera, 

 et elles pourront même y devenir absolument indéterminées. 



Il nous semble que cette démonstration, qu'on pourrait rendre purement 

 analytique, est plus simple et peut-être en même temps plus complète que 

 celles qu'on trouve dans la plupart des traités modernes, bien qu'elles soient 

 fondées sur le même principe. Toute considération des infiniment petits ou 

 de leurs dérivées est une complication inutile, qui ne sert qu'à déguiser le 

 vrai fondement et la vraie portée du théorème. 



28 



